Cada regra de logaritmos espelha uma regra de expoentes. Multiplicar duas potências da mesma base soma os expoentes, então somar logaritmos significa multiplicar os valores de entrada. Dividir subtrai os expoentes. Elevar a uma potência os multiplica. Como um logaritmo é, na verdade, um expoente disfarçado, cada lei de expoentes tem uma tradução direta em logaritmos, e aprendê-las em pares facilita memorizar os dois conjuntos.
Principais pontos
- Regra do produto:
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, pois 2 + 1.- Par correspondente em expoentes:
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, porque multiplicar potências soma os expoentes.- Regra da potência:
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.- Mudança de base:
log(8, 2) = 3, e qualquer base funciona comlog(x) ÷ log(b).
As regras em uma folha de referência
Os pares abaixo são os que fazem o trabalho do dia a dia. Cada regra de logaritmo à direita é a regra de expoentes à esquerda lida de trás para frente. O guia de regras de logaritmos e expoentes mantém essa mesma tabela, e expoentes explicados desenvolve de onde vêm as regras de expoentes.
| Regra de expoentes | Regra de logaritmo | Verificação rápida |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
Cada linha acima pode ser reproduzida na calculadora, com os valores arredondados da mesma forma que o visor arredonda. A referência de funções da calculadora lista as teclas exatas.
Regra do produto: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos
Esta é a regra de logaritmo mais útil. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). A multiplicação, que é lenta à mão, vira uma adição, que é rápida. O motivo pelo qual funciona: se x = b^p e y = b^q, então xy = b^p × b^q = b^(p+q), logo o logaritmo de xy é p + q.
Exemplo resolvido 1. log10(100) = 2 e log10(10) = 1. A regra do produto diz que log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. Confira na calculadora de logaritmos: digite log(1000) e ela mostra 3. Melhor ainda, digite log(100) + log(10) e o resultado também é 3. Dois caminhos, a mesma resposta.
O par correspondente em expoentes é o primeiro que todo mundo encontra: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Cálculo completo: 8 × 16 = 128, e 2⁷ = 128 também.
Regra do quociente: o logaritmo de um quociente é a diferença
A divisão vira subtração: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). Se um produto se decompõe em uma adição, um quociente se decompõe em uma subtração. A versão em expoentes primeiro transforma uma fração em um expoente negativo: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, porque 5 menos 2 é 3.
Exemplo resolvido 2. log10(1) − log10(100) deve ser igual ao logaritmo de 1 ÷ 100 = 0.01. Isso dá 0 − 2 = −2, e de fato log10(0.01) = −2, porque 10⁻² = 0.01. Digite log(0.01) para confirmar. Note que o logaritmo de um número menor que 1 é negativo, assim como um expoente negativo produz uma fração.
Regra da potência: o expoente sai para a frente
log_b(xⁿ) = n × log_b(x). Qualquer expoente dentro do logaritmo se torna um multiplicador na frente. É essa regra que permite isolar um expoente: log(5^10) se torna 10 × log(5).
Exemplo resolvido 3. ln(e^3) usa a convenção da calculadora de logaritmo natural, na qual ln tem base e. A regra da potência transforma isso em 3 × ln(e), e como ln(e) = 1, a resposta é exatamente 3. Digite ln(e^3) e 3 * ln(e); ambos retornam 3. Do lado dos expoentes, (2³)² = 2⁶ = 64.
Mudança de base: qualquer logaritmo em qualquer base
As regras oferecem uma conversão de base com uma única divisão: log_b(x) = log(x) ÷ log(b). A calculadora de logaritmos também aceita um segundo argumento para a base, então muitas vezes dá para pular a fórmula por completo.
Exemplo resolvido 4. Você quer log2(8). Na calculadora de logaritmos, digite log(8, 2) e ela retorna 3, porque 2³ = 8. Ou use a fórmula de mudança de base: log(8) / log(2) também retorna 3. O lado dos expoentes mostra a mesma relação com outra roupagem: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.
Trabalhando com as regras na calculadora
- Digite a expressão inteira e pressione
=.log(100) + log(10)é avaliada de uma vez e dá 3. - Qualquer base funciona como segundo argumento:
log(x, b). - Lembre-se de que
logaqui é base 10 elné a versão natural. A calculadora de expoentes cobre o mesmo par de ideias pelo lado da potência.
Perguntas frequentes
Por que a regra do produto vale?
Porque multiplicar potências da mesma base soma os expoentes. Se x = b^p e y = b^q, então xy = b^(p+q), e aplicar o logaritmo dos dois lados dá log_b(xy) = p + q.
Essas regras funcionam para logaritmos naturais?
Toda regra funciona em qualquer base, incluindo e. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), e ln(xⁿ) = n × ln(x). A calculadora de logaritmo natural aplica as mesmas leis, porque um logaritmo é um logaritmo, independente da base.
Qual é o logaritmo de 1?
log_b(1) = 0 em qualquer base, porque qualquer base elevada ao expoente 0 é igual a 1.
Como calcular log2(8) se não houver tecla de base?
Digite log(8, 2) para definir a base diretamente, ou use a fórmula de mudança de base log(8) / log(2). Ambas dão 3.