লগারিদম ও সূচকের নিয়ম সহজে বোঝা

লগারিদমের প্রতিটি নিয়ম সূচকের একটি নিয়মের প্রতিচ্ছবি। একই ভিত্তির দুটি ঘাতকে গুণ করলে তাদের সূচক যোগ হয়ে যায়, তাই দুটি লগ যোগ করা মানে আসলে তাদের ইনপুট মান দুটিকে গুণ করা। ভাগ করলে সূচক বিয়োগ হয়। কোনো কিছুকে ঘাতে উত্থিত করলে সূচক গুণ হয়। যেহেতু লগারিদম আসলে ছদ্মবেশে থাকা একটি সূচকই, তাই প্রতিটি সূচক-নিয়মের একটি সরাসরি লগ-অনুবাদ আছে, আর এদের জোড়ায় জোড়ায় শিখলে দুটোই মনে রাখা সহজ হয়ে যায়।

মূল বিষয়গুলো

• গুণফল নিয়ম: log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, কারণ 2 + 1।
• সূচকের যমজ নিয়ম: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, কারণ ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয়।
• ঘাত নিয়ম: ln(e³) = 3 × ln(e) = 3।
• ভিত্তি পরিবর্তন: log(8, 2) = 3, এবং log(x) ÷ log(b) দিয়ে যেকোনো ভিত্তির জন্যই এটি কাজ করে।

নিয়মগুলো এক নজরে: চিট শিট

নিচের জোড়াগুলোই সাধারণত সবচেয়ে বেশি কাজে লাগে। ডানপাশের প্রতিটি লগ-নিয়ম আসলে বামপাশের সূচক-নিয়মটি উল্টো করে পড়া। লগারিদম ও সূচকের নিয়ম সংক্রান্ত গাইড-এও একই সারণি আছে, আর সূচক ব্যাখ্যা করা হয়েছে পোস্টে দেখানো হয়েছে সূচকের এই নিয়মগুলো কোথা থেকে আসে।

সূচকের নিয়ম	লগের নিয়ম	দ্রুত যাচাই
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ	log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)	log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ	log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y)	log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ	log_b(xⁿ) = n × log_b(x)	ln(e³) = 3 × ln(e) = 3
a⁰ = 1	log_b(1) = 0	ln(1) = 0
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ	log_b(1 ÷ x) = −log_b(x)	ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147

উপরের প্রতিটি সারি ক্যালকুলেটরে পুনরুৎপাদন করা যায়, ডিসপ্লে যেভাবে সংখ্যা রাউন্ড করে ঠিক সেভাবেই। ক্যালকুলেটর ফাংশন রেফারেন্স পাতায় সঠিক কী-গুলোর তালিকা দেওয়া আছে।

গুণফল নিয়ম: গুণফলের লগ আসলে লগগুলোর যোগফল

এটিই সবচেয়ে বেশি কাজে লাগা লগ-নিয়ম। log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)। হাতে করলে যে গুণ করা ধীরগতির, তা যোগে পরিণত হয়ে দ্রুত হয়ে যায়। কারণটা এরকম: যদি x = b^p এবং y = b^q হয়, তাহলে xy = b^p × b^q = b^(p+q), তাই xy-এর লগ হয় p + q।

সমাধান করা উদাহরণ ১। log10(100) = 2 এবং log10(10) = 1। গুণফল নিয়ম অনুসারে log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3। লগ ক্যালকুলেটরে যাচাই করুন: log(1000) লিখলে এটি 3 দেখায়। আরও ভালো হয়, log(100) + log(10) লিখলেও এটি 3-তেই স্থির হয়। দুটো পথ, একই উত্তর।

সূচকের যমজ নিয়মটি সবাই সবার আগে শেখে: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128। সম্পূর্ণ হিসাব: 8 × 16 = 128, এবং 2⁷ = 128-ও তাই।

ভাগফল নিয়ম: ভাগফলের লগ আসলে পার্থক্য

ভাগ পরিণত হয় বিয়োগে: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y)। যদি একটি গুণফল ভেঙে যোগে পরিণত হয়, তাহলে একটি ভাগফল ভেঙে বিয়োগে পরিণত হয়। সূচক-সংস্করণে প্রথমে ভগ্নাংশটিকে ঋণাত্মক সূচকে রূপান্তর করা হয়: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, কারণ 5 বিয়োগ 2 সমান 3।

সমাধান করা উদাহরণ ২। log10(1) − log10(100)-এর মান হওয়া উচিত 1 ÷ 100 = 0.01-এর লগের সমান। এতে পাওয়া যায় 0 − 2 = −2, এবং সত্যিই log10(0.01) = −2, কারণ 10⁻² = 0.01। এটি যাচাই করতে log(0.01) লিখুন। লক্ষ করুন, 1-এর চেয়ে ছোট কোনো সংখ্যার লগ ঋণাত্মক হয়, ঠিক যেমন একটি ঋণাত্মক সূচক একটি ভগ্নাংশ তৈরি করে।

ঘাত নিয়ম: সূচকটি সামনে বেরিয়ে আসে

log_b(xⁿ) = n × log_b(x)। লগের ভেতরে থাকা যেকোনো সূচক সামনে এসে একটি গুণক হয়ে যায়। এই নিয়মটিই আপনাকে কোনো সূচকের মান বের করতে সাহায্য করে: log(5^10) হয়ে যায় 10 × log(5)।

সমাধান করা উদাহরণ ৩। ln(e^3)-এ ন্যাচারাল লগ ক্যালকুলেটরের প্রথা অনুসরণ করা হয়েছে, যেখানে ln-এর ভিত্তি e। ঘাত নিয়মে এটি হয়ে যায় 3 × ln(e), এবং যেহেতু ln(e) = 1, উত্তর ঠিক 3। ln(e^3) এবং 3 * ln(e) দুটোই লিখুন; দুটোই 3 ফেরত দেয়। সূচকের দিক থেকে দেখলে, (2³)² = 2⁶ = 64।

ভিত্তি পরিবর্তন: যেকোনো ভিত্তিতে যেকোনো লগ

নিয়মগুলো আপনাকে ভিত্তি রূপান্তরের জন্য মাত্র একটি ভাগের সূত্র দেয়: log_b(x) = log(x) ÷ log(b)। লগ ক্যালকুলেটর ভিত্তির জন্য দ্বিতীয় একটি আর্গুমেন্টও গ্রহণ করে, তাই অনেক সময় সূত্রটি ব্যবহার না করলেও চলে।

সমাধান করা উদাহরণ ৪। ধরুন আপনার log2(8) দরকার। লগ ক্যালকুলেটরে log(8, 2) লিখুন, এটি 3 ফেরত দেবে, কারণ 2³ = 8। অথবা ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র ব্যবহার করুন: log(8) / log(2)-ও 3-তেই ফিরে আসে। সূচকের দিকটি একই সম্পর্ক অন্য রূপে দেখায়: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8।

ক্যালকুলেটরে নিয়মগুলো নিয়ে কাজ করা

• পুরো রাশিটি লিখে = চাপুন। log(100) + log(10) একবারেই হিসাব করে 3 দেয়।
• দ্বিতীয় আর্গুমেন্ট হিসেবে যেকোনো ভিত্তি ব্যবহার করা যায়: log(x, b)।
• মনে রাখবেন, এখানে log-এর ভিত্তি 10 এবং ln হলো এর ন্যাচারাল সংস্করণ। সূচক ক্যালকুলেটরে একই দুটি ধারণা ঘাতের দিক থেকে আলোচনা করা হয়েছে।

প্রায়ই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

গুণফল নিয়ম কেন সত্য?

কারণ একই ভিত্তির ঘাতগুলো গুণ করলে সূচক যোগ হয়ে যায়। যদি x = b^p এবং y = b^q হয়, তাহলে xy = b^(p+q), আর দুই পাশের লগ নিলে পাওয়া যায় log_b(xy) = p + q।

এই নিয়মগুলো কি ন্যাচারাল লগের ক্ষেত্রেও কাজ করে?

প্রতিটি নিয়ম প্রতিটি ভিত্তির জন্য কাজ করে, e সহ। ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), এবং ln(xⁿ) = n × ln(x)। ন্যাচারাল লগ ক্যালকুলেটরেও একই নিয়ম প্রযোজ্য, কারণ লগ যে ভিত্তিতেই হোক না কেন তা লগই থাকে।

1-এর লগ কত?

log_b(1) = 0, প্রতিটি ভিত্তিতে, কারণ যেকোনো ভিত্তিকে 0 ঘাতে উত্থিত করলে তা 1 হয়।

ভিত্তির জন্য আলাদা কী না থাকলে log2(8) কীভাবে বের করব?

সরাসরি ভিত্তি নির্ধারণ করতে log(8, 2) লিখুন, অথবা ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র log(8) / log(2) ব্যবহার করুন। দুটোই 3 দেয়।