La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, devuelve el número original: √81 = 9 porque 9 × 9 = 81. La raíz cúbica es el valor que elevado al cubo da el original: ∛27 = 3 porque 3 × 3 × 3 = 27. Las raíces son la inversa de las potencias, y verlas así las hace fáciles de calcular y fáciles de comprobar.

Ideas clave

√x responde “¿qué número elevado al cuadrado da x?” y ∛x responde “¿qué número elevado al cubo da x?”.

√81 = 9, ∛64 = 4 y ∛(-8) = -2, así que las raíces cúbicas de negativos existen, las raíces cuadradas de negativos no (en aritmética real).

Las raíces son potencias fraccionarias: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n).

Los resultados enteros vienen de cuadrados y cubos perfectos; todo lo demás es un decimal irracional.

¿Qué es una raíz cuadrada?

La raíz cuadrada de un número x, escrita √x, es el número no negativo cuyo cuadrado da x. Preguntar por √81 es lo mismo que preguntar “¿qué número, elevado al cuadrado, da 81?”, y la respuesta es 9.

Ejemplo resuelto 1: cuadrados perfectos. √81 = 9 porque 9² = 81. √144 = 12 porque 12² = 144. √0.25 = 0.5 porque 0.5² = 0.25. Fíjate en el patrón en el otro sentido: 9² = 81, y luego √81 = 9, así que elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada se cancelan entre sí.

Los cuadrados perfectos que conviene memorizar

Los números que salen de elevar al cuadrado un entero se llaman cuadrados perfectos:

Cuadrado	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
Raíz	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Cualquier valor dentro de esta tabla se reduce a un entero limpio, lo que sirve como comprobación propia: si calculaste √64 y obtuviste algo distinto de 8, repasa cómo lo escribiste.

¿Qué es una raíz cúbica?

La raíz cúbica de un número x, escrita ∛x, es el número cuyo cubo da x. Como un negativo por un negativo por un negativo sigue siendo negativo, las raíces cúbicas de números negativos son perfectamente válidas y negativas: ∛(-8) = -2.

Ejemplo resuelto 2: cubos perfectos. ∛27 = 3 porque 3³ = 27. ∛64 = 4 porque 4³ = 64. ∛512 = 8 porque 8³ = 512, y 8 × 8 × 8 = 512 se comprueba en cualquier calculadora.

Los cubos perfectos que conviene conocer

Cubo	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Raíz	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Por qué la mayoría de las raíces cuadradas son irracionales

Salvo que el número bajo la raíz sea un cuadrado o un cubo perfecto, el resultado nunca termina. √2 no se puede escribir como fracción de números enteros, así que es irracional: el decimal continúa para siempre sin repetirse. Una calculadora no puede imprimir un decimal infinito, así que muestra una aproximación redondeada en su lugar.

Ejemplo resuelto 3: raíces irracionales. √2 se muestra como 1.41421356237 en la calculadora, √3 como 1.73205080757 y √5 como 2.2360679775. Calcularlas a mano es imposible, por eso existen las teclas de raíz. Los valores también son un buen recordatorio de que el decimal mostrado está redondeado, y la guía de aritmética de coma flotante explica cómo pequeños errores de redondeo pueden colarse en los resultados.

Las raíces como potencias fraccionarias

Toda raíz es también una potencia: la raíz cuadrada es la potencia un medio, la raíz cúbica la potencia un tercio, y así sucesivamente. √x = x^(1/2) y ∛x = x^(1/3).

Ejemplo resuelto 4: raíces como potencias. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2, ya que 2⁴ = 16. Ese vínculo “raíz = exponente recíproco” es la misma idea que usa la entrada exponentes explicados para las potencias negativas y fraccionarias, y es la forma más rápida de escribir una raíz poco habitual en la calculadora: en lugar de una tecla dedicada, solo eleva el número a una fracción.

Calcular la raíz enésima con la calculadora

La calculadora ofrece una función general nthRoot(x, n) que encuentra cualquier raíz: nthRoot(x, n) es el número que elevado a la potencia n da x. Toma dos argumentos separados por una coma, y aparece documentada junto a todas las demás funciones en la referencia de funciones de la calculadora.

Ejemplo resuelto 5: raíces enésimas. nthRoot(81, 4) = 3, ya que 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2, ya que 2⁵ = 32. nthRoot(0.001, 3) = 0.1, ya que 0.1³ = 0.001. Cuando el índice y el número se eligen de potencias perfectas, toda la expresión se reduce a un entero limpio.

Raíces cuadradas y cúbicas en el mundo real

Las raíces aparecen dondequiera que una cantidad crece por cuadrados o cubos. La diagonal de la pantalla de un televisor es √(ancho² + alto²); el lado de un cuadrado de área 144 cm² es √144 = 12 cm; un cubo con volumen 1000 cm³ tiene una arista de ∛1000 = 10 cm; y las fórmulas de física para la distancia y la energía están llenas de cuadrados que se deshacen con raíces. La calculadora de exponentes es la herramienta adecuada cuando tus números se pueden expresar como potencias, porque mantiene visible el procedimiento, mientras que la calculadora de notación científica da formato a los resultados que vuelven enormes o diminutos.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la raíz cuadrada de un número negativo?

No hay respuesta en números reales, porque un número real al cuadrado nunca es negativo. La calculadora marca √(-1) como error, lo cual es correcto: la respuesta necesitaría números imaginarios (√(-1) = i). Las raíces cúbicas de números negativos sí están bien, eso sí: ∛(-8) = -2.

¿Cuál es la diferencia entre `√` y `∛`?

√ deshace elevar al cuadrado y ∛ deshace elevar al cubo. √81 = 9 porque 9² = 81, mientras que ∛27 = 3 porque 3³ = 27. Para cualquier otro índice, usa nthRoot(x, n).

¿Cómo calculo una raíz en la calculadora?

Pulsa √ para la raíz cuadrada, ∛ para la raíz cúbica, o escribe nthRoot(x, n) para cualquier otro índice. También puedes usar potencias fraccionarias: 27^(1/3) da el mismo resultado que ∛27.

¿Por qué `√2` da un decimal largo en lugar de una respuesta exacta?

Porque √2 es irracional: no se puede escribir como fracción y su decimal nunca termina. La calculadora muestra 1.41421356237, una aproximación de 12 dígitos significativos. Para trabajo de ingeniería exacto, mantén la raíz en forma simbólica y solo evalúa al final.