Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt: √81 = 9, weil 9 × 9 = 81. Die Kubikwurzel ist der Wert, dessen dritte Potenz die ursprüngliche Zahl ergibt: ∛27 = 3, weil 3 × 3 × 3 = 27. Wurzeln sind die Umkehrung von Potenzen, und wer sie so betrachtet, kann sie einfach berechnen und leicht prüfen.

Die wichtigsten Punkte

√x beantwortet „was ergibt quadriert x?“ und ∛x „was ergibt hoch drei x?“.

√81 = 9, ∛64 = 4 und ∛(-8) = -2, also gibt es Kubikwurzeln negativer Zahlen, Quadratwurzeln negativer Zahlen dagegen nicht (in der reellen Arithmetik).

Wurzeln sind gebrochene Exponenten: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n).

Ganze Ergebnisse kommen von Quadrat- und Kubikzahlen; alles andere ist eine irrationale Dezimalzahl.

Was ist eine Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel einer Zahl x, geschrieben √x, ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat x ergibt. Nach √81 zu fragen, ist dasselbe wie zu fragen „welche Zahl ergibt quadriert 81?“, und die Antwort ist 9.

Durchgerechnetes Beispiel 1: Quadratzahlen. √81 = 9, weil 9² = 81. √144 = 12, weil 12² = 144. √0.25 = 0.5, weil 0.5² = 0.25. Beachte das Muster in der Gegenrichtung: 9² = 81, dann √81 = 9, also heben Quadrieren und Wurzelziehen einander auf.

Die Quadratzahlen, die man sich merken sollte

Die Zahlen, die aus dem Quadrieren einer ganzen Zahl entstehen, heißen Quadratzahlen:

Quadrat	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
Wurzel	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Jeder Wert in dieser Tabelle kollabiert zu einer sauberen ganzen Zahl, ein praktischer Selbsttest: Falls du √64 berechnet hast und etwas anderes als 8 herauskommt, prüfe deine Eingabe.

Was ist eine Kubikwurzel?

Die Kubikwurzel einer Zahl x, geschrieben ∛x, ist die Zahl, deren dritte Potenz x ergibt. Weil negativ mal negativ mal negativ immer noch negativ ist, sind Kubikwurzeln negativer Zahlen völlig gültig und negativ: ∛(-8) = -2.

Durchgerechnetes Beispiel 2: Kubikzahlen. ∛27 = 3, weil 3³ = 27. ∛64 = 4, weil 4³ = 64. ∛512 = 8, weil 8³ = 512, und 8 × 8 × 8 = 512 ergibt auf jedem Rechner genau das.

Die Kubikzahlen, die man kennen sollte

Kubikzahl	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Wurzel	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Warum die meisten Quadratwurzeln irrational sind

Wenn die Zahl unter der Wurzel keine Quadrat- oder Kubikzahl ist, endet das Ergebnis nie. √2 lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben, also ist sie irrational: Die Dezimalzahl geht endlos weiter, ohne sich zu wiederholen. Ein Rechner kann keine unendliche Dezimalzahl ausgeben, er zeigt stattdessen einen gerundeten Näherungswert.

Durchgerechnetes Beispiel 3: irrationale Wurzeln. √2 zeigt der Rechner als 1.41421356237, √3 als 1.73205080757 und √5 als 2.2360679775. Das Raten dieser Werte von Hand ist hoffnungslos, deshalb gibt es die Wurzeltasten. Die Werte sind auch eine gute Erinnerung daran, dass die angezeigte Dezimalzahl gerundet ist, und der Leitfaden zur Gleitkomma-Arithmetik erklärt, wie kleine Rundungsfehler in Ergebnisse schleichen können.

Wurzeln als gebrochene Exponenten

Jede Wurzel ist auch eine Potenz: Die Quadratwurzel ist die einhalb-Potenz, die Kubikwurzel die ein Drittel-Potenz und so weiter. √x = x^(1/2) und ∛x = x^(1/3).

Durchgerechnetes Beispiel 4: Wurzeln als Potenzen. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2, da 2⁴ = 16. Diese Verbindung „Wurzel gleich Kehrwert des Exponenten“ ist dieselbe Idee, die der Beitrag Exponenten erklärt für negative und gebrochene Exponenten verwendet, und sie ist der schnellste Weg, eine ungewöhnliche Wurzel im Rechner einzutippen: Statt einer eigenen Taste erhöht man die Zahl einfach auf einen Bruch.

Die n-te Wurzel mit dem Rechner finden

Der Rechner bietet eine allgemeine nthRoot(x, n)-Funktion, die jede beliebige Wurzel findet: nthRoot(x, n) ist die Zahl, die zur n-ten Potenz erhoben x ergibt. Sie nimmt zwei durch ein Komma getrennte Argumente und ist zusammen mit jeder anderen Funktion in der Referenz der Rechnerfunktionen dokumentiert.

Durchgerechnetes Beispiel 5: n-te Wurzeln. nthRoot(81, 4) = 3, da 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2, da 2⁵ = 32. nthRoot(0.001, 3) = 0.1, da 0.1³ = 0.001. Wenn Wurzelexponent und Zahl beide aus ganzzahligen Potenzen gewählt sind, kollabiert der ganze Ausdruck zu einer sauberen ganzen Zahl.

Quadrat- und Kubikwurzeln im Alltag

Wurzeln tauchen überall dort auf, wo eine Größe mit Quadraten oder Kubikzahlen wächst. Die Bildschirmdiagonale eines Fernsehers ist √(Breite² + Höhe²); die Seitenlänge eines Quadrats mit Fläche 144 cm² ist √144 = 12 cm; ein Würfel mit Volumen 1000 cm³ hat eine Kante von ∛1000 = 10 cm; und physikalische Formeln für Entfernung und Energie sind voller Quadrate, die Wurzeln wieder auflösen. Der Exponenten-Rechner ist das passende Werkzeug, wenn sich deine Zahlen als Potenzen ausdrücken lassen, denn er hält den Rechenweg sichtbar, während der Rechner für wissenschaftliche Schreibweise Ergebnisse formatiert, die riesig oder winzig herauskommen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl?

Es gibt keine reelle Antwort, denn eine reelle Zahl ergibt quadriert nie etwas Negatives. Der Rechner meldet √(-1) als Fehler, was richtig ist: Die Antwort bräuchte komplexe Zahlen (√(-1) = i). Kubikwurzeln negativer Zahlen sind dagegen völlig in Ordnung: ∛(-8) = -2.

Was ist der Unterschied zwischen `√` und `∛`?

√ hebt das Quadrieren auf und ∛ das Kubieren. √81 = 9, weil 9² = 81, während ∛27 = 3, weil 3³ = 27. Für jeden anderen Exponenten verwende nthRoot(x, n).

Wie berechne ich eine Wurzel auf dem Rechner?

Drücke √ für die Quadratwurzel, ∛ für die Kubikwurzel oder tippe nthRoot(x, n) für jeden anderen Exponenten. Du kannst auch gebrochene Exponenten verwenden: 27^(1/3) liefert dasselbe Ergebnis wie ∛27.

Warum ergibt `√2` eine lange Dezimalzahl statt einer exakten Antwort?

Weil √2 irrational ist: Sie lässt sich nicht als Bruch schreiben und ihre Dezimalzahl endet nie. Der Rechner zeigt 1.41421356237, eine Näherung mit 12 signifikanten Stellen. Für exakte Ingenieursarbeit behältst du die Wurzel symbolisch und wertest erst ganz am Ende aus.