किसी संख्या का वर्गमूल वह मान है जो, स्वयं से गुणा किए जाने पर, मूल संख्या वापस देता है: √81 = 9 क्योंकि 9 × 9 = 81। घनमूल वह मान है जिसका घन मूल संख्या के बराबर होता है: ∛27 = 3 क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27। मूल पावर के व्युत्क्रम हैं, और इन्हें इस तरह सोचना इन्हें परिकलित करना और जाँचना आसान बना देता है।

मुख्य बातें

√x इस सवाल का जवाब देता है “किसका वर्ग x है?” और ∛x इसका “किसका घन x है?”

√81 = 9, ∛64 = 4, और ∛(-8) = -2, इसलिए ऋणात्मक संख्याओं के घनमूल मौजूद होते हैं, वर्गमूल नहीं (वास्तविक अंकगणित में)।

मूल भिन्नात्मक पावर होते हैं: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n)।

पूर्ण-संख्या परिणाम पूर्ण वर्गों और घनों से आते हैं; बाकी सब एक अपरिमेय दशमलव है।

वर्गमूल क्या है?

किसी संख्या x का वर्गमूल, √x लिखा जाता है, वह ऋणेतर संख्या है जिसका वर्ग x के बराबर होता है। √81 पूछना उतना ही है जितना “कौन सी संख्या, वर्ग की जाने पर, 81 देती है?” पूछना, और जवाब है 9।

वर्किंग उदाहरण 1: पूर्ण वर्ग। √81 = 9 क्योंकि 9² = 81। √144 = 12 क्योंकि 12² = 144। √0.25 = 0.5 क्योंकि 0.5² = 0.25। उलटी दिशा में पैटर्न पर ध्यान दें: 9² = 81, फिर √81 = 9, इसलिए वर्ग करना और वर्गमूल निकालना एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।

याद रखने लायक पूर्ण वर्ग

किसी पूर्णांक का वर्ग करने से आने वाली संख्याओं को पूर्ण वर्ग कहा जाता है:

वर्ग	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
मूल	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

इस तालिका के भीतर कोई भी मान एक साफ़ पूर्णांक में सिमट जाता है, जो एक सुविधाजनक सेल्फ़-चेक है: अगर आपने √64 परिकलित किया और 8 के अलावा कुछ और मिला, तो अपनी एंट्री दोबारा जाँचें।

घनमूल क्या है?

किसी संख्या x का घनमूल, ∛x लिखा जाता है, वह संख्या है जिसका घन x के बराबर होता है। चूँकि ऋणात्मक गुणा ऋणात्मक गुणा ऋणात्मक अब भी ऋणात्मक ही रहता है, ऋणात्मक संख्याओं के घनमूल पूरी तरह मान्य और ऋणात्मक होते हैं: ∛(-8) = -2।

वर्किंग उदाहरण 2: पूर्ण घन। ∛27 = 3 क्योंकि 3³ = 27। ∛64 = 4 क्योंकि 4³ = 64। ∛512 = 8 क्योंकि 8³ = 512, और 8 × 8 × 8 = 512 किसी भी कैलकुलेटर पर सही निकलता है।

जानने लायक पूर्ण घन

घन	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
मूल	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

ज़्यादातर वर्गमूल अपरिमेय क्यों होते हैं

जब तक रूट के नीचे की संख्या एक पूर्ण वर्ग या घन न हो, परिणाम कभी खत्म नहीं होता। √2 को पूर्ण संख्याओं की किसी भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है: दशमलव बिना दोहराए हमेशा के लिए चलता रहता है। एक कैलकुलेटर अनंत दशमलव नहीं छाप सकता, इसलिए यह इसके बजाय एक राउंड किया गया सन्निकटन दिखाता है।

वर्किंग उदाहरण 3: अपरिमेय मूल। √2 कैलकुलेटर पर 1.41421356237 के रूप में दिखता है, √3 1.73205080757 के रूप में, और √5 2.2360679775 के रूप में। इन्हें हाथ से अनुमान लगाना निराशाजनक है, यही वजह है कि रूट कीज़ मौजूद हैं। ये मान इस बात की भी अच्छी याद दिलाते हैं कि दिखाया गया दशमलव राउंड किया हुआ है, और फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित गाइड बताती है कि छोटी राउंडिंग त्रुटियाँ परिणामों में कैसे घुस सकती हैं।

भिन्नात्मक पावर के रूप में मूल

हर मूल एक पावर भी है: वर्गमूल आधी पावर है, घनमूल एक-तिहाई पावर है, और आगे भी ऐसे ही। √x = x^(1/2) और ∛x = x^(1/3)।

वर्किंग उदाहरण 4: पावर के रूप में मूल। 8^(1/3) = ∛8 = 2। 9^(1/2) = √9 = 3। 16^(1/4) = 2, क्योंकि 2⁴ = 16। यह “मूल = पारस्परिक एक्सपोनेंट” वाला संबंध वही विचार है जिसका उपयोग एक्सपोनेंट समझाए गए पोस्ट ऋणात्मक और भिन्नात्मक पावर के लिए करती है, और यह कैलकुलेटर पर कोई असामान्य मूल टाइप करने का सबसे तेज़ तरीका है: किसी समर्पित की के बजाय, बस संख्या को एक भिन्न तक उठा दें।

कैलकुलेटर से nवां मूल निकालना

कैलकुलेटर एक सामान्य nthRoot(x, n) फ़ंक्शन देता है जो कोई भी मूल निकाल सकता है: nthRoot(x, n) वह संख्या है जिसे nवीं पावर तक उठाने पर x मिलता है। यह अल्पविराम से अलग किए गए दो आर्ग्यूमेंट लेता है, और यह कैलकुलेटर फ़ंक्शन रेफरेंस में हर दूसरे फ़ंक्शन के साथ दस्तावेज़ीकृत है।

वर्किंग उदाहरण 5: nवें मूल। nthRoot(81, 4) = 3, क्योंकि 3⁴ = 81। nthRoot(32, 5) = 2, क्योंकि 2⁵ = 32। nthRoot(0.001, 3) = 0.1, क्योंकि 0.1³ = 0.001। जब इंडेक्स और संख्या दोनों पूर्ण पावर से चुने जाएँ, तो पूरा एक्सप्रेशन एक साफ़ पूर्णांक में सिमट जाता है।

वास्तविक दुनिया में वर्गमूल और घनमूल

मूल वहाँ दिखते हैं जहाँ भी कोई मात्रा वर्गों या घनों से बढ़ती है। किसी टेलीविज़न का स्क्रीन विकर्ण है √(चौड़ाई² + ऊँचाई²); 144 सेमी² क्षेत्रफल वाले एक वर्ग की भुजा की लंबाई है √144 = 12 सेमी; 1000 सेमी³ आयतन वाले एक घन की एक धार होती है ∛1000 = 10 सेमी; और दूरी व ऊर्जा के भौतिकी सूत्र वर्गों से भरे होते हैं जिन्हें मूल उलट देते हैं। एक्सपोनेंट कैलकुलेटर सही उपकरण है जब आपकी संख्याएँ पावर के रूप में व्यक्त की जा सकें, क्योंकि यह काम को दृश्यमान रखता है, जबकि वैज्ञानिक संकेतन कैलकुलेटर उन परिणामों को फ़ॉर्मैट करता है जो बहुत बड़े या बहुत छोटे आकर वापस आते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल क्या है?

इसका कोई वास्तविक-संख्या जवाब नहीं है, क्योंकि वर्ग की गई एक वास्तविक संख्या कभी ऋणात्मक नहीं होती। कैलकुलेटर √(-1) को एक त्रुटि के रूप में चिह्नित करता है, जो सही है: जवाब के लिए काल्पनिक संख्याओं की ज़रूरत होगी (√(-1) = i)। ऋणात्मक संख्याओं के घनमूल हालाँकि ठीक हैं: ∛(-8) = -2।

`√` और `∛` में क्या अंतर है?

√ वर्ग करने को उलट देता है और ∛ घन करने को। √81 = 9 क्योंकि 9² = 81, जबकि ∛27 = 3 क्योंकि 3³ = 27। किसी भी अन्य इंडेक्स के लिए, nthRoot(x, n) का उपयोग करें।

कैलकुलेटर पर मूल कैसे परिकलित करूँ?

वर्गमूल के लिए √ दबाएँ, घनमूल के लिए ∛, या किसी अन्य इंडेक्स के लिए nthRoot(x, n) टाइप करें। आप भिन्नात्मक पावर का भी उपयोग कर सकते हैं: 27^(1/3) वही परिणाम देता है जो ∛27।

`√2` एक सटीक जवाब के बजाय एक लंबा दशमलव क्यों देता है?

क्योंकि √2 अपरिमेय है: इसे भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता और इसका दशमलव कभी खत्म नहीं होता। कैलकुलेटर 1.41421356237 दिखाता है, एक 12-सार्थक-अंक वाला सन्निकटन। सटीक इंजीनियरिंग काम के लिए, मूल को सिंबॉलिक रखें और केवल बिल्कुल अंत में मूल्यांकन करें।