어떤 수의 제곱근은 자기 자신을 곱했을 때 원래 수가 되는 값입니다: 9 × 9 = 81이기 때문에 √81 = 9입니다. 세제곱근은 세제곱했을 때 원래 수가 되는 값입니다: 3 × 3 × 3 = 27이기 때문에 ∛27 = 3입니다. 근은 거듭제곱의 역연산이며, 이렇게 생각하면 계산도 검산도 쉬워집니다.
핵심 요약
√x는 “무엇을 제곱하면 x가 되는가?“에,∛x는 “무엇을 세제곱하면 x가 되는가?“에 답합니다.√81 = 9,∛64 = 4,∛(-8) = -2이므로 음수의 세제곱근은 존재하지만, (실수 범위에서) 음수의 제곱근은 존재하지 않습니다.- 근은 분수 지수입니다:
√x = x^(1/2),∛x = x^(1/3),nthRoot(x, n) = x^(1/n).- 정수 결과는 완전제곱수와 완전세제곱수에서 나오며, 그 외에는 모두 무리수 소수입니다.
제곱근이란 무엇인가?
수 x의 제곱근, √x로 표기하며, 제곱하면 x가 되는 음이 아닌 수입니다. √81을 묻는 것은 “제곱해서 81이 되는 수는 무엇인가?“를 묻는 것과 같으며, 답은 9입니다.
예제 1: 완전제곱수. 9² = 81이므로 √81 = 9입니다. 12² = 144이므로 √144 = 12입니다. 0.5² = 0.25이므로 √0.25 = 0.5입니다. 반대 방향의 패턴도 눈여겨보세요: 9² = 81, 그다음 √81 = 9이므로, 제곱과 제곱근은 서로를 상쇄합니다.
외워둘 만한 완전제곱수
정수를 제곱해서 나오는 수를 완전제곱수라고 부릅니다.
| 제곱 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 근 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
이 표 안의 값은 무엇이든 깔끔한 정수로 떨어지므로, 유용한 자체 검산이 됩니다: √64를 계산했는데 8이 아닌 다른 값이 나온다면 입력을 다시 확인하세요.
세제곱근이란 무엇인가?
수 x의 세제곱근, ∛x로 표기하며, 세제곱하면 x가 되는 수입니다. 음수 곱하기 음수 곱하기 음수는 여전히 음수이므로, 음수의 세제곱근은 완전히 유효하며 음수입니다: ∛(-8) = -2.
예제 2: 완전세제곱수. 3³ = 27이므로 ∛27 = 3입니다. 4³ = 64이므로 ∛64 = 4입니다. 8³ = 512이므로 ∛512 = 8이며, 8 × 8 × 8 = 512는 어떤 계산기로도 확인됩니다.
알아둘 만한 완전세제곱수
| 세제곱 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 근 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
대부분의 제곱근이 무리수인 이유
근호 안의 수가 완전제곱수나 완전세제곱수가 아니라면, 결과는 절대 끝나지 않습니다. √2는 정수의 분수로 쓸 수 없으므로 무리수입니다: 소수는 반복 없이 영원히 이어집니다. 계산기는 무한 소수를 출력할 수 없으므로, 대신 반올림한 근삿값을 보여줍니다.
예제 3: 무리수 근. √2는 계산기에서 1.41421356237로, √3은 1.73205080757로, √5는 2.2360679775로 표시됩니다. 이 값들을 손으로 추측하는 것은 가망이 없으며, 이것이 근호 키가 존재하는 이유입니다. 이 값들은 또한 표시된 소수가 반올림된 것이라는 사실을 상기시켜 주며, 부동소수점 연산 가이드에서는 작은 반올림 오차가 결과에 어떻게 스며드는지 설명합니다.
분수 지수로서의 근
모든 근은 거듭제곱이기도 합니다: 제곱근은 2분의 1 제곱이고, 세제곱근은 3분의 1 제곱이며, 계속 그렇게 이어집니다. √x = x^(1/2)이고 ∛x = x^(1/3)입니다.
예제 4: 거듭제곱으로서의 근. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 2⁴ = 16이므로 16^(1/4) = 2입니다. 이 “근 = 역수 지수” 연결고리는 지수란 무엇인가 글에서 음수와 분수 지수에 사용한 것과 같은 아이디어이며, 특이한 근을 계산기에 입력하는 가장 빠른 방법이기도 합니다: 전용 키 대신 그냥 수를 분수 제곱하면 됩니다.
계산기로 n제곱근 구하기
계산기는 모든 근을 찾을 수 있는 일반적인 nthRoot(x, n) 함수를 제공합니다: nthRoot(x, n)은 n제곱했을 때 x가 되는 수입니다. 두 개의 인수를 쉼표로 구분해 받으며, 계산기 함수 참조표에 다른 모든 함수와 함께 문서화되어 있습니다.
예제 5: n제곱근. 3⁴ = 81이므로 nthRoot(81, 4) = 3입니다. 2⁵ = 32이므로 nthRoot(32, 5) = 2입니다. 0.1³ = 0.001이므로 nthRoot(0.001, 3) = 0.1입니다. 지수와 숫자가 둘 다 완전 거듭제곱에서 골라졌다면, 식 전체가 깔끔한 정수로 떨어집니다.
현실 속의 제곱근과 세제곱근
근은 수량이 제곱이나 세제곱으로 커지는 곳이면 어디에나 등장합니다. 텔레비전 화면의 대각선은 √(가로² + 세로²)이고, 넓이가 144cm²인 정사각형의 한 변은 √144 = 12cm이며, 부피가 1000cm³인 정육면체의 한 모서리는 ∛1000 = 10cm이고, 거리와 에너지를 다루는 물리 공식들은 근으로 풀리는 제곱으로 가득합니다. 지수 계산기는 숫자를 거듭제곱으로 표현할 수 있을 때 풀이 과정을 그대로 보여주는 적절한 도구이며, 과학적 표기법 계산기는 결과가 아주 크거나 아주 작게 나올 때 이를 정리해 표시합니다.
자주 묻는 질문
음수의 제곱근은 무엇인가요?
실수 범위의 답은 없습니다. 어떤 실수를 제곱해도 음수가 될 수 없기 때문입니다. 계산기는 √(-1)을 오류로 표시하는데, 이는 옳은 처리입니다: 답에는 허수가 필요합니다(√(-1) = i). 다만 음수의 세제곱근은 문제없습니다: ∛(-8) = -2.
√와 ∛의 차이는 무엇인가요?
√는 제곱을 되돌리고 ∛는 세제곱을 되돌립니다. 9² = 81이므로 √81 = 9이고, 3³ = 27이므로 ∛27 = 3입니다. 다른 지수에는 nthRoot(x, n)을 사용하세요.
계산기에서 근은 어떻게 계산하나요?
제곱근에는 √를, 세제곱근에는 ∛를 누르거나, 다른 지수에는 nthRoot(x, n)을 입력하세요. 분수 지수를 사용할 수도 있습니다: 27^(1/3)은 ∛27과 같은 결과를 줍니다.
√2는 왜 정확한 답 대신 긴 소수를 주나요?
√2가 무리수이기 때문입니다: 분수로 쓸 수 없고 소수가 절대 끝나지 않습니다. 계산기는 유효숫자 12자리 근삿값인 1.41421356237을 보여줍니다. 정밀한 공학 작업을 위해서는 근호를 기호 그대로 유지하다가 마지막에만 계산하세요.