La racine carrée d’un nombre est la valeur qui, multipliée par elle-même, redonne le nombre de départ : √81 = 9 parce que 9 × 9 = 81. La racine cubique est la valeur dont le cube donne le nombre de départ : ∛27 = 3 parce que 3 × 3 × 3 = 27. Les racines sont l’inverse des puissances, et les voir ainsi les rend faciles à calculer et à vérifier.

Points clés

√x répond à “quel nombre au carré donne x ?” et ∛x à “quel nombre au cube donne x ?”.

√81 = 9, ∛64 = 4, et ∛(-8) = -2 : les racines cubiques des négatifs existent, pas les racines carrées (en arithmétique réelle).

Les racines sont des puissances fractionnaires : √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n).

Les résultats entiers proviennent des carrés et des cubes parfaits ; tout le reste est une décimale irrationnelle.

Qu’est-ce qu’une racine carrée ?

La racine carrée d’un nombre x, notée √x, est le nombre non négatif dont le carré vaut x. Demander √81 revient à demander “quel nombre, au carré, donne 81 ?”, et la réponse est 9.

Exemple détaillé 1 : carrés parfaits. √81 = 9 parce que 9² = 81. √144 = 12 parce que 12² = 144. √0.25 = 0.5 parce que 0.5² = 0.25. Remarquez le motif dans l’autre sens : 9² = 81, puis √81 = 9, donc élever au carré et prendre la racine s’annulent.

Les carrés parfaits à mémoriser

Les nombres qui proviennent du carré d’un entier s’appellent des carrés parfaits :

Carré	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
Racine	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Toute valeur de ce tableau tombe sur un entier propre, ce qui fait une vérification commode : si vous calculez √64 et obtenez autre chose que 8, recommencez la saisie.

Qu’est-ce qu’une racine cubique ?

La racine cubique d’un nombre x, notée ∛x, est le nombre dont le cube vaut x. Comme un négatif multiplié par un négatif multiplié par un négatif reste négatif, les racines cubiques des nombres négatifs sont parfaitement valides et négatives : ∛(-8) = -2.

Exemple détaillé 2 : cubes parfaits. ∛27 = 3 parce que 3³ = 27. ∛64 = 4 parce que 4³ = 64. ∛512 = 8 parce que 8³ = 512, et 8 × 8 × 8 = 512 se vérifie sur n’importe quelle calculatrice.

Les cubes parfaits à connaître

Cube	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Racine	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Pourquoi la plupart des racines carrées sont irrationnelles

À moins que le nombre sous la racine ne soit un carré ou un cube parfait, le résultat ne se termine jamais. √2 ne peut pas s’écrire comme une fraction de nombres entiers, il est donc irrationnel : la décimale continue indéfiniment sans se répéter. Une calculatrice ne peut pas afficher une décimale infinie, elle montre donc une approximation arrondie.

Exemple détaillé 3 : racines irrationnelles. √2 s’affiche 1.41421356237 sur la calculatrice, √3 1.73205080757, et √5 2.2360679775. Deviner ces valeurs à la main est sans espoir, c’est pourquoi les touches de racines existent. Ces valeurs rappellent aussi que la décimale affichée est arrondie, et le guide de l’arithmétique à virgule flottante explique comment de petites erreurs d’arrondi peuvent s’infiltrer dans les résultats.

Les racines comme puissances fractionnaires

Chaque racine est aussi une puissance : la racine carrée est la puissance un demi, la racine cubique la puissance un tiers, et ainsi de suite. √x = x^(1/2) et ∛x = x^(1/3).

Exemple détaillé 4 : les racines comme puissances. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2, puisque 2⁴ = 16. Ce lien “racine = exposant inverse” est la même idée que l’article les exposants expliqués utilise pour les puissances négatives et fractionnaires, et c’est le moyen le plus rapide de taper une racine inhabituelle sur la calculatrice : au lieu d’une touche dédiée, élevez simplement le nombre à une fraction.

Trouver la racine n-ième avec la calculatrice

La calculatrice propose une fonction générale nthRoot(x, n) qui trouve n’importe quelle racine : nthRoot(x, n) est le nombre qui, élevé à la puissance n, donne x. Elle prend deux arguments séparés par une virgule, et elle est documentée aux côtés de toutes les autres fonctions dans la référence des fonctions de la calculatrice.

Exemple détaillé 5 : racines n-ièmes. nthRoot(81, 4) = 3, puisque 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2, puisque 2⁵ = 32. nthRoot(0.001, 3) = 0.1, puisque 0.1³ = 0.001. Quand l’indice et le nombre sont tous deux choisis parmi des puissances parfaites, toute l’expression retombe sur un entier propre.

Racines carrées et cubiques dans le monde réel

Les racines apparaissent partout où une grandeur croît par carrés ou par cubes. La diagonale d’un écran de télévision est √(largeur² + hauteur²) ; le côté d’un carré de 144 cm² d’aire est √144 = 12 cm ; un cube de 1000 cm³ de volume a une arête de ∛1000 = 10 cm ; et les formules de physique pour la distance et l’énergie sont pleines de carrés que les racines défont. La calculatrice d’exposants est l’outil adapté quand vos nombres s’expriment comme des puissances, car elle garde le calcul visible, tandis que la calculatrice de notation scientifique met en forme les résultats très grands ou très petits.

Questions fréquentes

Quelle est la racine carrée d’un nombre négatif ?

Il n’y a pas de réponse réelle, car le carré d’un nombre réel n’est jamais négatif. La calculatrice signale √(-1) comme une erreur, et c’est correct : la réponse exigerait des nombres imaginaires (√(-1) = i). Les racines cubiques des nombres négatifs, elles, sont tout à fait valables : ∛(-8) = -2.

Quelle est la différence entre `√` et `∛` ?

√ défait l’élévation au carré et ∛ défait l’élévation au cube. √81 = 9 parce que 9² = 81, tandis que ∛27 = 3 parce que 3³ = 27. Pour tout autre indice, utilisez nthRoot(x, n).

Comment calculer une racine sur la calculatrice ?

Appuyez sur √ pour la racine carrée, ∛ pour la racine cubique, ou tapez nthRoot(x, n) pour tout autre indice. Vous pouvez aussi utiliser des puissances fractionnaires : 27^(1/3) donne le même résultat que ∛27.

Pourquoi `√2` donne-t-il une longue décimale au lieu d’une réponse exacte ?

Parce que √2 est irrationnel : on ne peut pas l’écrire comme une fraction et sa décimale ne se termine jamais. La calculatrice affiche 1.41421356237, une approximation à 12 chiffres significatifs. Pour un travail d’ingénierie précis, gardez la racine sous forme symbolique et n’évaluez qu’à la toute fin.