A raiz quadrada de um número é o valor que, multiplicado por si mesmo, devolve o número original: √81 = 9 porque 9 × 9 = 81. A raiz cúbica é o valor que, elevado ao cubo, dá o original: ∛27 = 3 porque 3 × 3 × 3 = 27. Raízes são o inverso de potências, e pensar nelas dessa forma torna fácil calculá-las e conferi-las.

Principais pontos

√x responde “o que elevado ao quadrado dá x?” e ∛x responde “o que elevado ao cubo dá x?”.

√81 = 9, ∛64 = 4, e ∛(-8) = -2, então raízes cúbicas de números negativos existem, raízes quadradas de negativos não (na aritmética real).

Raízes são potências fracionárias: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n).

Resultados em números inteiros vêm de quadrados e cubos perfeitos; todo o resto é um decimal irracional.

O que é uma raiz quadrada?

A raiz quadrada de um número x, escrita √x, é o número não negativo cujo quadrado é igual a x. Perguntar por √81 é o mesmo que perguntar “qual número, elevado ao quadrado, dá 81?”, e a resposta é 9.

Exemplo resolvido 1: quadrados perfeitos. √81 = 9 porque 9² = 81. √144 = 12 porque 12² = 144. √0.25 = 0.5 porque 0.5² = 0.25. Repare no padrão na direção inversa: 9² = 81, depois √81 = 9, então elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada se cancelam.

Os quadrados perfeitos que vale a pena memorizar

Os números que vêm de elevar um número inteiro ao quadrado são chamados de quadrados perfeitos:

Quadrado	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
Raiz	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Qualquer valor dentro desta tabela resulta em um número inteiro limpo, o que é uma boa autoverificação: se você calculou √64 e obteve algo diferente de 8, revise sua entrada.

O que é uma raiz cúbica?

A raiz cúbica de um número x, escrita ∛x, é o número cujo cubo é igual a x. Como negativo vezes negativo vezes negativo ainda é negativo, raízes cúbicas de números negativos são perfeitamente válidas e negativas: ∛(-8) = -2.

Exemplo resolvido 2: cubos perfeitos. ∛27 = 3 porque 3³ = 27. ∛64 = 4 porque 4³ = 64. ∛512 = 8 porque 8³ = 512, e 8 × 8 × 8 = 512 confere em qualquer calculadora.

Os cubos perfeitos que vale a pena conhecer

Cubo	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Raiz	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Por que a maioria das raízes quadradas é irracional

A não ser que o número sob a raiz seja um quadrado ou cubo perfeito, o resultado nunca termina. √2 não pode ser escrito como uma fração de números inteiros, então é irracional: o decimal continua para sempre sem se repetir. Uma calculadora não consegue imprimir um decimal infinito, então ela mostra uma aproximação arredondada.

Exemplo resolvido 3: raízes irracionais. √2 aparece como 1.41421356237 na calculadora, √3 como 1.73205080757, e √5 como 2.2360679775. Tentar adivinhar esses valores à mão é inútil, e é por isso que existem as teclas de raiz. Esses valores também são um bom lembrete de que o decimal exibido é arredondado, e o guia de aritmética de ponto flutuante explica como pequenos erros de arredondamento podem se infiltrar nos resultados.

Raízes como potências fracionárias

Toda raiz também é uma potência: a raiz quadrada é a potência de um meio, a raiz cúbica é a potência de um terço, e assim por diante. √x = x^(1/2) e ∛x = x^(1/3).

Exemplo resolvido 4: raízes como potências. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2, já que 2⁴ = 16. Essa ligação “raiz = expoente recíproco” é a mesma ideia usada pelo post expoentes explicados para potências negativas e fracionárias, e é a forma mais rápida de digitar uma raiz incomum na calculadora: em vez de uma tecla dedicada, basta elevar o número a uma fração.

Encontrando a raiz enésima com a calculadora

A calculadora oferece uma função geral nthRoot(x, n) que encontra qualquer raiz: nthRoot(x, n) é o número que, elevado à enésima potência, dá x. Ela recebe dois argumentos separados por vírgula, e está documentada junto com todas as outras funções na referência de funções da calculadora.

Exemplo resolvido 5: raízes enésimas. nthRoot(81, 4) = 3, já que 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2, já que 2⁵ = 32. nthRoot(0.001, 3) = 0.1, já que 0.1³ = 0.001. Quando o índice e o número são ambos escolhidos entre potências perfeitas, a expressão inteira se reduz a um número inteiro limpo.

Raízes quadradas e cúbicas no mundo real

Raízes aparecem sempre que uma grandeza cresce por quadrados ou cubos. A diagonal da tela de uma televisão é √(largura² + altura²); o lado de um quadrado com área 144 cm² é √144 = 12 cm; um cubo com volume 1000 cm³ tem uma aresta de ∛1000 = 10 cm; e fórmulas de física para distância e energia estão cheias de quadrados que são desfeitos por raízes. A calculadora de expoentes é a ferramenta certa quando seus números podem ser expressos como potências, porque mantém o cálculo visível, enquanto a calculadora de notação científica formata os resultados que voltam enormes ou minúsculos.

Perguntas frequentes

Qual é a raiz quadrada de um número negativo?

Não existe resposta em números reais, porque um número real elevado ao quadrado nunca é negativo. A calculadora sinaliza √(-1) como erro, o que está correto: a resposta exigiria números imaginários (√(-1) = i). Raízes cúbicas de números negativos, no entanto, são válidas: ∛(-8) = -2.

Qual é a diferença entre `√` e `∛`?

√ desfaz o quadrado e ∛ desfaz o cubo. √81 = 9 porque 9² = 81, enquanto ∛27 = 3 porque 3³ = 27. Para qualquer outro índice, use nthRoot(x, n).

Como calculo uma raiz na calculadora?

Pressione √ para a raiz quadrada, ∛ para a raiz cúbica, ou digite nthRoot(x, n) para qualquer outro índice. Você também pode usar potências fracionárias: 27^(1/3) dá o mesmo resultado que ∛27.

Por que `√2` dá um decimal longo em vez de uma resposta exata?

Porque √2 é irracional: não pode ser escrito como fração e seu decimal nunca termina. A calculadora mostra 1.41421356237, uma aproximação de 12 algarismos significativos. Para trabalho de engenharia exato, mantenha a raiz simbólica e só calcule no final.