La radice quadrata di un numero è il valore che, moltiplicato per se stesso, restituisce il numero originale: √81 = 9 perché 9 × 9 = 81. La radice cubica è il valore che elevato al cubo dà il numero originale: ∛27 = 3 perché 3 × 3 × 3 = 27. Le radici sono l’inverso delle potenze, e pensarle in questo modo le rende facili da calcolare e da verificare.

Punti chiave

√x risponde a “cosa elevato al quadrato dà x?” e ∛x risponde a “cosa elevato al cubo dà x?”.

√81 = 9, ∛64 = 4, e ∛(-8) = -2, quindi le radici cubiche di numeri negativi esistono, le radici quadrate di numeri negativi no (nell’aritmetica reale).

Le radici sono potenze frazionarie: √x = x^(1/2), ∛x = x^(1/3), nthRoot(x, n) = x^(1/n).

I risultati con numeri interi provengono da quadrati e cubi perfetti; tutto il resto è un decimale irrazionale.

Cos’è una radice quadrata?

La radice quadrata di un numero x, scritta √x, è il numero non negativo il cui quadrato è uguale a x. Chiedere √81 equivale a chiedere “quale numero, elevato al quadrato, dà 81?”, e la risposta è 9.

Esempio svolto 1: quadrati perfetti. √81 = 9 perché 9² = 81. √144 = 12 perché 12² = 144. √0,25 = 0,5 perché 0,5² = 0,25. Nota lo schema nella direzione inversa: 9² = 81, poi √81 = 9, quindi elevare al quadrato ed estrarre la radice quadrata si annullano a vicenda.

I quadrati perfetti da memorizzare

I numeri che derivano dall’elevare al quadrato un intero si chiamano quadrati perfetti:

Quadrato	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
Radice	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Qualsiasi valore dentro questa tabella collassa a un numero intero pulito, il che è un utile autocontrollo: se hai calcolato √64 e hai ottenuto qualcosa di diverso da 8, ripercorri quello che hai digitato.

Cos’è una radice cubica?

La radice cubica di un numero x, scritta ∛x, è il numero il cui cubo è uguale a x. Poiché un negativo per un negativo per un negativo resta negativo, le radici cubiche di numeri negativi sono perfettamente valide e negative: ∛(-8) = -2.

Esempio svolto 2: cubi perfetti. ∛27 = 3 perché 3³ = 27. ∛64 = 4 perché 4³ = 64. ∛512 = 8 perché 8³ = 512, e 8 × 8 × 8 = 512 si verifica su qualsiasi calcolatrice.

I cubi perfetti da conoscere

Cubo	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Radice	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Perché la maggior parte delle radici quadrate è irrazionale

A meno che il numero sotto la radice non sia un quadrato o un cubo perfetto, il risultato non termina mai. √2 non può essere scritto come frazione di numeri interi, quindi è irrazionale: il decimale continua all’infinito senza ripetersi. Una calcolatrice non può stampare un decimale infinito, quindi mostra un’approssimazione arrotondata.

Esempio svolto 3: radici irrazionali. √2 si mostra come 1,41421356237 sulla calcolatrice, √3 come 1,73205080757, e √5 come 2,2360679775. Indovinare questi valori a mano è disperato, ed è per questo che esistono i tasti della radice. I valori sono anche un buon promemoria del fatto che il decimale mostrato è arrotondato, e la guida all’aritmetica in virgola mobile spiega come piccoli errori di arrotondamento possano insinuarsi nei risultati.

Le radici come potenze frazionarie

Ogni radice è anche una potenza: la radice quadrata è la potenza un mezzo, la radice cubica è la potenza un terzo, e così via. √x = x^(1/2) e ∛x = x^(1/3).

Esempio svolto 4: radici come potenze. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2, dato che 2⁴ = 16. Questo legame “radice = esponente reciproco” è la stessa idea usata nell’articolo esponenti spiegati per le potenze negative e frazionarie, ed è il modo più rapido per digitare una radice insolita sulla calcolatrice: invece di un tasto dedicato, basta elevare il numero a una frazione.

Trovare la radice ennesima con la calcolatrice

La calcolatrice offre una funzione generale nthRoot(x, n) che trova qualsiasi radice: nthRoot(x, n) è il numero che elevato alla n-esima potenza dà x. Prende due argomenti separati da una virgola, ed è documentata insieme a ogni altra funzione nel riferimento delle funzioni della calcolatrice.

Esempio svolto 5: radici ennesime. nthRoot(81, 4) = 3, dato che 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2, dato che 2⁵ = 32. nthRoot(0,001, 3) = 0,1, dato che 0,1³ = 0,001. Quando l’indice e il numero sono entrambi scelti tra potenze perfette, l’intera espressione collassa a un numero intero pulito.

Radici quadrate e cubiche nel mondo reale

Le radici compaiono ovunque una quantità cresca per quadrati o cubi. La diagonale dello schermo di un televisore è √(larghezza² + altezza²); il lato di un quadrato di area 144 cm² è √144 = 12 cm; un cubo di volume 1000 cm³ ha uno spigolo di ∛1000 = 10 cm; e le formule di fisica per distanza ed energia sono piene di quadrati che vengono disfatti dalle radici. La calcolatrice degli esponenti è lo strumento giusto quando i tuoi numeri si esprimono come potenze, perché mantiene visibili i passaggi, mentre la calcolatrice di notazione scientifica formatta i risultati che tornano enormi o minuscoli.

Domande frequenti

Qual è la radice quadrata di un numero negativo?

Non esiste una risposta in numeri reali, perché un numero reale elevato al quadrato non è mai negativo. La calcolatrice segnala √(-1) come errore, ed è corretto: la risposta richiederebbe i numeri immaginari (√(-1) = i). Le radici cubiche di numeri negativi invece vanno bene: ∛(-8) = -2.

Qual è la differenza tra `√` e `∛`?

√ annulla l’elevamento al quadrato e ∛ annulla l’elevamento al cubo. √81 = 9 perché 9² = 81, mentre ∛27 = 3 perché 3³ = 27. Per qualsiasi altro indice, usa nthRoot(x, n).

Come calcolo una radice sulla calcolatrice?

Premi √ per la radice quadrata, ∛ per la radice cubica, oppure digita nthRoot(x, n) per qualsiasi altro indice. Puoi anche usare le potenze frazionarie: 27^(1/3) dà lo stesso risultato di ∛27.

Perché `√2` dà un decimale lungo invece di una risposta esatta?

Perché √2 è irrazionale: non può essere scritto come frazione e il suo decimale non finisce mai. La calcolatrice mostra 1,41421356237, un’approssimazione a 12 cifre significative. Per un lavoro ingegneristico esatto, mantieni la radice in forma simbolica e calcola solo alla fine.