一个数的平方根，是自身相乘后能得到原数的那个值：√81 = 9，因为 9 × 9 = 81。立方根是自身立方后能得到原数的值：∛27 = 3，因为 3 × 3 × 3 = 27。开方是乘方的逆运算，用这个角度去理解，会让计算和核对都变得容易许多。
要点速览
√x回答的是「什么数的平方是 x？」，∛x回答的是「什么数的立方是 x？」。√81 = 9，∛64 = 4，∛(-8) = -2：所以负数的立方根是存在的，但（在实数范围内）负数没有平方根。- 开方就是分数指数：
√x = x^(1/2)，∛x = x^(1/3)，nthRoot(x, n) = x^(1/n)。- 只有完全平方数和完全立方数才能开出整数结果，其余的都是无理小数。
什么是平方根？
数 x 的平方根，记作 √x，是使平方结果等于 x 的那个非负数。求 √81 等价于问「什么数的平方是 81？」，答案是 9。
示例一：完全平方数。 √81 = 9，因为 9² = 81。√144 = 12，因为 12² = 144。√0.25 = 0.5，因为 0.5² = 0.25。留意反方向的规律：9² = 81，那么 √81 = 9，所以平方和开平方根互相抵消。
值得记住的完全平方数
由整数平方得到的数称为完全平方数：
| 平方 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 根 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
表中的任何数值都会得出一个干净的整数，这是一个很方便的自检方式：如果你算出 √64 却得到了不是 8 的结果，就该回头检查一下输入。
什么是立方根？
数 x 的立方根，记作 ∛x，是使立方结果等于 x 的那个数。因为负数乘负数乘负数仍然是负数，所以负数的立方根是完全合理且为负的：∛(-8) = -2。
示例二：完全立方数。 ∛27 = 3，因为 3³ = 27。∛64 = 4，因为 4³ = 64。∛512 = 8，因为 8³ = 512，用任何计算器验证 8 × 8 × 8 = 512 都成立。
值得了解的完全立方数
| 立方 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 根 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
为什么大多数平方根都是无理数
除非根号下的数是完全平方数或完全立方数，否则结果永远不会终止。√2 无法写成两个整数的比值，所以它是无理数：小数位无限延续，永不循环。计算器无法打印出一个无限小数，所以它显示的是一个四舍五入的近似值。
示例三：无理根。 在计算器上，√2 显示为 1.41421356237，√3 显示为 1.73205080757，√5 显示为 2.2360679775。靠手算猜出这些值几乎不可能，这正是开方键存在的意义。这些数值也提醒我们，显示的小数是经过四舍五入的，浮点运算指南解释了微小的舍入误差是如何悄悄混入结果的。
开方即分数指数
每一次开方也是一次乘方：平方根就是二分之一次方，立方根就是三分之一次方，以此类推。√x = x^(1/2)，∛x = x^(1/3)。
示例四：以乘方形式表示开方。 8^(1/3) = ∛8 = 2。9^(1/2) = √9 = 3。16^(1/4) = 2，因为 2⁴ = 16。这种「开方 = 倒数指数」的对应关系，正是乘方详解一文中用来处理负指数和分数指数的同一个思路，也是在计算器上输入不常见根号最快捷的办法：不需要专门的按键，直接把这个数提升到某个分数次方即可。
用计算器求 n 次方根
计算器提供了通用的 nthRoot(x, n) 函数，可以求出任意次方根：nthRoot(x, n) 是那个自身升到 n 次方能得到 x 的数。它接受两个用逗号分隔的参数，在计算器函数参考中和其他所有函数一起有详细说明。
示例五：n 次方根。 nthRoot(81, 4) = 3，因为 3⁴ = 81。nthRoot(32, 5) = 2，因为 2⁵ = 32。nthRoot(0.001, 3) = 0.1，因为 0.1³ = 0.001。当指数和被开方数都恰好是完全乘方时，整个表达式就会得出一个干净的整数。
现实生活中的平方根与立方根
只要一个量以平方或立方的方式增长，开方就会出现。电视屏幕的对角线是 √(宽² + 高²)；面积为 144 平方厘米的正方形，边长是 √144 = 12 厘米；体积为 1000 立方厘米的立方体，棱长是 ∛1000 = 10 厘米；距离和能量相关的物理公式中，也到处都是需要用开方来还原的平方项。当数字可以表示为乘方时，乘方计算器是合适的工具，因为它会保留计算过程；而当结果特别大或特别小时，科学记数法计算器负责把它整理成易读的格式。
常见问题
负数的平方根是什么？
在实数范围内没有答案，因为任何实数的平方都不可能是负数。计算器会把 √(-1) 标记为错误，这是正确的：这个答案需要虚数（√(-1) = i）。不过负数的立方根是完全没问题的：∛(-8) = -2。
√ 和 ∛ 有什么区别？
√ 是平方的逆运算，∛ 是立方的逆运算。√81 = 9，因为 9² = 81；∛27 = 3，因为 3³ = 27。对于其他次方，使用 nthRoot(x, n)。
如何在计算器上计算开方？
按 √ 求平方根，按 ∛ 求立方根，或者输入 nthRoot(x, n) 求任意次方根。也可以用分数指数：27^(1/3) 得到的结果和 ∛27 相同。
为什么 √2 得到的是一长串小数，而不是一个精确答案？
因为 √2 是无理数：它无法写成分数，小数位也永远不会结束。计算器显示为 1.41421356237，这是一个 12 位有效数字的近似值。对于需要精确结果的工程计算，最好把根号保留为符号，只在最后一步才求值。