平方根とは、それ自身を掛けると元の数に戻る値のことです。√81 = 9 なのは 9 × 9 = 81 だからです。立方根は、それ自身を3乗すると元の数になる値です。∛27 = 3 なのは 3 × 3 × 3 = 27 だからです。根号はべき乗の逆演算であり、そう考えると計算も検算も簡単になります。
要点まとめ
√xは「何を2乗するとxになるか」、∛xは「何を3乗するとxになるか」に答えます。√81 = 9、∛64 = 4、∛(-8) = -2。つまり負の数の立方根は存在しますが、負の数の平方根は(実数の範囲では)存在しません。- 根号は分数のべき乗です。
√x = x^(1/2)、∛x = x^(1/3)、nthRoot(x, n) = x^(1/n)。- きれいな整数になる結果は完全平方数・完全立方数から来ます。それ以外はすべて無理数の小数になります。
平方根とは何か
数 x の平方根は √x と書かれ、2乗すると x になる非負の数のことです。√81 を求めることは「2乗すると81になる数は何か?」と尋ねているのと同じで、答えは9です。
計算例1: 完全平方数。 √81 = 9 は 9² = 81 だからです。√144 = 12 は 12² = 144 だからです。√0.25 = 0.5 は 0.5² = 0.25 だからです。逆方向のパターンにも注目してください。9² = 81、そして √81 = 9。つまり2乗と平方根は互いを打ち消し合います。
覚えておく価値のある完全平方数
整数を2乗して得られる数は完全平方数と呼ばれます。
| 平方 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 根 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
この表の中にある値はすべてきれいな整数になります。これは便利な検算方法にもなります。√64 を計算してみて8以外の答えが出たら、入力をたどり直してみてください。
立方根とは何か
数 x の立方根は ∛x と書かれ、3乗すると x になる数のことです。負の数×負の数×負の数は依然として負になるため、負の数の立方根は完全に有効であり、負の値になります。∛(-8) = -2。
計算例2: 完全立方数。 ∛27 = 3 は 3³ = 27 だからです。∛64 = 4 は 4³ = 64 だからです。∛512 = 8 は 8³ = 512 だからで、8 × 8 × 8 = 512 はどんな電卓でも確認できます。
覚えておく価値のある完全立方数
| 立方 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 根 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
ほとんどの平方根が無理数である理由
根号の中の数が完全平方数や完全立方数でない限り、結果は決して終わりません。√2 は整数同士の分数として表すことができないため無理数であり、その小数は繰り返すことなく永遠に続きます。電卓は無限小数を印字できないため、代わりに丸めた近似値を表示します。
計算例3: 無理数の根。 √2 は電卓では 1.41421356237 と表示され、√3 は 1.73205080757、√5 は 2.2360679775 と表示されます。これらを手で言い当てるのは不可能で、だからこそ根号のキーが存在するのです。これらの値は、表示される小数が丸められたものであることを思い出させてくれます。浮動小数点演算ガイドでは、小さな丸め誤差がどのように結果に忍び込むかを解説しています。
分数のべき乗としての根
すべての根はべき乗でもあります。平方根は2分の1乗、立方根は3分の1乗、という具合です。√x = x^(1/2)、∛x = x^(1/3)。
計算例4: べき乗としての根。 8^(1/3) = ∛8 = 2。9^(1/2) = √9 = 3。16^(1/4) = 2。なぜなら 2⁴ = 16 だからです。この「根 = 逆数の指数」というつながりは、指数の解説の記事が負のべき乗や分数のべき乗に対して使うのと同じ考え方であり、電卓で変わった根を入力する最速の方法でもあります。専用キーがなくても、数を分数乗するだけで済みます。
電卓でn乗根を求める
電卓にはあらゆる根を求められる汎用の nthRoot(x, n) 関数があります。nthRoot(x, n) は、n乗すると x になる数です。カンマで区切った2つの引数を取り、他のすべての関数と同様に電卓関数リファレンスに詳しい説明があります。
計算例5: n乗根。 nthRoot(81, 4) = 3。なぜなら 3⁴ = 81 だからです。nthRoot(32, 5) = 2。なぜなら 2⁵ = 32 だからです。nthRoot(0.001, 3) = 0.1。なぜなら 0.1³ = 0.001 だからです。指数と数の両方が完全なべき乗から選ばれると、式全体がきれいな整数に落ち着きます。
現実世界における平方根と立方根
根は、ある量が平方や立方で増えるところならどこにでも現れます。テレビの画面の対角線は √(幅² + 高さ²) です。面積144平方センチメートルの正方形の1辺の長さは √144 = 12 センチメートルです。体積1000立方センチメートルの立方体の1辺は ∛1000 = 10 センチメートルです。距離やエネルギーに関する物理学の公式は、根によって元に戻される2乗にあふれています。数字がべき乗として表現できるときは指数電卓が適切なツールです。計算過程を可視化してくれます。結果が非常に大きい、または小さい場合は科学的記数法電卓がその結果を整形してくれます。
よくある質問
負の数の平方根はどうなりますか?
実数の範囲では答えがありません。実数を2乗しても負にはならないからです。電卓は √(-1) をエラーとして示しますが、それは正しい挙動です。その答えには虚数(√(-1) = i)が必要になります。ただし負の数の立方根は問題ありません。∛(-8) = -2 です。
√ と ∛ の違いは何ですか?
√ は2乗を打ち消し、∛ は3乗を打ち消します。√81 = 9 は 9² = 81 だからで、∛27 = 3 は 3³ = 27 だからです。それ以外の指数には nthRoot(x, n) を使ってください。
電卓で根を計算するにはどうすればよいですか?
平方根には √、立方根には ∛ を押すか、それ以外の指数には nthRoot(x, n) と入力します。分数のべき乗を使うこともできます。27^(1/3) は ∛27 と同じ結果を返します。
なぜ √2 は正確な答えではなく長い小数になるのですか?
√2 が無理数だからです。分数として書くことができず、その小数は決して終わりません。電卓は 1.41421356237 を表示しますが、これは12桁の有効数字による近似値です。厳密な工学計算では、根号を記号のまま保持し、最後の最後にだけ評価してください。