شرح الجذور التربيعية والتكعيبية: كيف تجدها وتستخدمها وتحسبها

الجذر التربيعي لعدد هو القيمة التي، إذا ضُربت في نفسها، تعيد العدد الأصلي: √81 = 9 لأن 9 × 9 = 81. الجذر التكعيبي هو القيمة التي تكعيبها يعطي الأصل: ∛27 = 3 لأن 3 × 3 × 3 = 27. الجذور هي معكوس القوى، والتفكير فيها بهذه الطريقة يجعل حسابها والتحقق منها سهلين.

أهم النقاط

• √x تجيب عن “ما الذي يُربَّع فيعطي x؟” و∛x تجيب عن “ما الذي يُكعَّب فيعطي x؟”.
• √81 = 9، ∛64 = 4، و∛(-8) = -2، لذا فإن الجذور التكعيبية للأعداد السالبة موجودة، بينما الجذور التربيعية للسالب غير موجودة (في الحساب الحقيقي).
• الجذور هي أسس كسرية: √x = x^(1/2)، ∛x = x^(1/3)، nthRoot(x, n) = x^(1/n).
• النتائج الصحيحة تأتي من مربعات ومكعبات كاملة؛ وكل ما عداها عدد عشري غير نسبي.

ما هو الجذر التربيعي؟

الجذر التربيعي لعدد x، ويُكتب √x، هو العدد غير السالب الذي مربّعه يساوي x. طرح سؤال √81 هو نفسه طرح “أي عدد، عند تربيعه، يعطي 81؟”، والإجابة 9.

مثال محلول 1: مربعات كاملة. √81 = 9 لأن 9² = 81. √144 = 12 لأن 12² = 144. √0.25 = 0.5 لأن 0.5² = 0.25. لاحظ النمط في الاتجاه المعاكس: 9² = 81، ثم √81 = 9، فالتربيع وأخذ الجذر التربيعي يُلغي أحدهما الآخر.

المربعات الكاملة التي تستحق الحفظ

الأعداد الناتجة من تربيع عدد صحيح تُسمّى مربعات كاملة:

المربع	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
الجذر	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

أي قيمة داخل هذا الجدول تختزل إلى عدد صحيح نظيف، وهذا فحص ذاتي مفيد: إذا حسبت √64 وحصلت على أي شيء غير 8، راجع مُدخَلك.

ما هو الجذر التكعيبي؟

الجذر التكعيبي لعدد x، ويُكتب ∛x، هو العدد الذي مكعّبه يساوي x. لأن سالبًا مضروبًا في سالب مضروبًا في سالب يبقى سالبًا، فإن الجذور التكعيبية للأعداد السالبة صحيحة تمامًا وسالبة: ∛(-8) = -2.

مثال محلول 2: مكعبات كاملة. ∛27 = 3 لأن 3³ = 27. ∛64 = 4 لأن 4³ = 64. ∛512 = 8 لأن 8³ = 512، و8 × 8 × 8 = 512 يتحقق على أي آلة حاسبة.

المكعبات الكاملة التي تستحق المعرفة

المكعب	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
الجذر	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

لماذا معظم الجذور التربيعية غير نسبية

ما لم يكن العدد تحت الجذر مربعًا أو مكعبًا كاملًا، فإن النتيجة لا تنتهي أبدًا. √2 لا يمكن كتابته كنسبة أعداد صحيحة، لذا فهو غير نسبي: العدد العشري يستمر إلى الأبد دون تكرار. لا تستطيع الآلة الحاسبة طباعة عدد عشري لا نهائي، لذا تعرض تقريبًا مُقرَّبًا بدلًا من ذلك.

مثال محلول 3: جذور غير نسبية. √2 تظهر كـ 1.41421356237 على الآلة الحاسبة، و√3 كـ 1.73205080757، و√5 كـ 2.2360679775. التخمين اليدوي لهذه القيم مستحيل، وهذا سبب وجود مفاتيح الجذر. القيم أيضًا تذكير جيد بأن العدد العشري المعروض مُقرَّب، ويشرح دليل حساب الفاصلة العائمة كيف يمكن لأخطاء تقريب صغيرة أن تتسلل إلى النتائج.

الجذور كأسس كسرية

كل جذر هو أيضًا قوة: الجذر التربيعي هو الأس نصف، والجذر التكعيبي هو الأس ثلث، وهكذا. √x = x^(1/2) و∛x = x^(1/3).

مثال محلول 4: الجذور كأسس. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 9^(1/2) = √9 = 3. 16^(1/4) = 2، لأن 2⁴ = 16. رابط “الجذر = الأس المقلوب” هذا هو نفس الفكرة التي يستخدمها منشور شرح الأسس للأسس السالبة والكسرية، وهو أسرع طريقة لكتابة جذر غير معتاد على الآلة الحاسبة: بدلًا من مفتاح مخصص، ارفع العدد ببساطة لأس كسري.

إيجاد الجذر النوني على الآلة الحاسبة

توفّر الآلة الحاسبة دالة عامة nthRoot(x, n) تجد أي جذر على الإطلاق: nthRoot(x, n) هو العدد الذي عند رفعه للأس n يعطي x. تأخذ وسيطين مفصولين بفاصلة، وهي موثّقة إلى جانب كل دالة أخرى في مرجع دوال الآلة الحاسبة.

مثال محلول 5: الجذور النونية. nthRoot(81, 4) = 3، لأن 3⁴ = 81. nthRoot(32, 5) = 2، لأن 2⁵ = 32. nthRoot(0.001, 3) = 0.1، لأن 0.1³ = 0.001. عندما يكون كل من الدليل والعدد مختارين من قوى كاملة، ينهار التعبير كله إلى عدد صحيح نظيف.

الجذور التربيعية والتكعيبية في العالم الحقيقي

تظهر الجذور أينما تنمو كمية بمربعات أو مكعبات. قطر شاشة التلفاز هو √(العرض² + الارتفاع²)؛ طول ضلع مربع مساحته 144 سم² هو √144 = 12 سم؛ ومكعب حجمه 1000 سم³ حرفه ∛1000 = 10 سم؛ وصيغ الفيزياء للمسافة والطاقة مليئة بمربعات تُلغيها الجذور. حاسبة الأس هي الأداة المناسبة عندما تكون أعدادك قابلة للتعبير كقوى، لأنها تُبقي خطوات الحل مرئية، بينما تنسّق حاسبة الترميز العلمي النتائج التي تعود ضخمة أو دقيقة جدًا.

الأسئلة الشائعة

ما هو الجذر التربيعي لعدد سالب؟

لا توجد إجابة بعدد حقيقي، لأن مربّع أي عدد حقيقي ليس سالبًا أبدًا. تُظهر الآلة الحاسبة √(-1) كخطأ، وهذا صحيح: الإجابة تحتاج أعدادًا تخيلية (√(-1) = i). أما الجذور التكعيبية للأعداد السالبة فهي صحيحة: ∛(-8) = -2.

ما الفرق بين √ و∛؟

√ تُلغي التربيع و∛ تُلغي التكعيب. √81 = 9 لأن 9² = 81، بينما ∛27 = 3 لأن 3³ = 27. لأي دليل آخر، استخدم nthRoot(x, n).

كيف أحسب جذرًا على الآلة الحاسبة؟

اضغط √ للجذر التربيعي، أو ∛ للجذر التكعيبي، أو اكتب nthRoot(x, n) لأي دليل آخر. يمكنك أيضًا استخدام الأسس الكسرية: 27^(1/3) تعطي نفس نتيجة ∛27.

لماذا تعطي √2 عددًا عشريًا طويلًا بدلًا من إجابة دقيقة؟

لأن √2 غير نسبي: لا يمكن كتابته كنسبة وعدده العشري لا ينتهي أبدًا. تعرض الآلة الحاسبة 1.41421356237، تقريبًا بـ 12 رقمًا معنويًا. للعمل الهندسي الدقيق، أبقِ الجذر رمزيًا واحسبه فقط في النهاية.