গড় হলো প্রতিটি মান যোগ করে গণনা দিয়ে ভাগ করা। মধ্যক হলো ডেটা সাজানোর পর মাঝের মান। প্রচুরক হলো যে মানটি সবচেয়ে বেশিবার আসে। পরিসর, ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতি প্রতিটি সংখ্যাগুলো কতটা ছড়িয়ে আছে তা মাপে, আর একটি ছোট ডেটা সেট এসব স্পষ্টভাবে দেখাতে পারে।
মূল বিষয়গুলো
[4,8,6,5,3]-এর গড়5.2, আর একই সেটের মধ্যক5।[2,4,4,4,5,5,7,9]-এর নমুনা ভেদাংক4.5714, তাই এর আদর্শ বিচ্যুতি2.138।- দুটি সেট একই গড় ভাগ করতে পারে:
[4,5,6]এবং[1,5,9]দুটোরই গড়5, কিন্তু তাদের আদর্শ বিচ্যুতি1আর4।- ক্যালকুলেটর ডিফল্টভাবে নমুনা আদর্শ বিচ্যুতি ব্যবহার করে, তাই
[2,4,6,8,10]-এর জন্য এটি3.1623ফেরত দেয়।
গড়
গড় হলো গাণিতিক গড়মান। প্রতিটি মান যোগ করুন, তারপর কতগুলো মান আছে তা দিয়ে ভাগ করুন। মানুষ “গড়” বলতে সাধারণত এটাই বোঝায়।
উদাহরণ ১: [4,8,6,5,3]-এর গড়। যোগফল 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, আর 5টি মান আছে, তাই গড় 26 ÷ 5 = 5.2। ক্যালকুলেটরে, mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2। স্ট্যাটিসটিক্স ক্যালকুলেটর একই কমা-দিয়ে-আলাদা-করা তালিকা নিয়ে কাজটা দেখায়।
মধ্যক
মধ্যক হলো ডেটা সাজানোর পর মাঝের মান। প্রথমে সাজান। বিজোড় সংখ্যক মান থাকলে, মধ্যক হলো মাঝের সংখ্যা। জোড় সংখ্যক মান থাকলে, মাঝের দুটি সংখ্যার গড় নিন।
উদাহরণ ২: [1,3,3,6,7,8,9]-এর মধ্যক। সেটটি ইতিমধ্যেই সাজানো, আর 7টি মান থাকায় মাঝের স্লট চতুর্থটা, যেখানে আছে 6। এর নিচে তিনটি মান আর ওপরে তিনটি মান। median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6। জোড় সংখ্যার জন্য, ধরুন [1,3,4,5,7,10], মধ্যকটি মাঝের দুটি মানের গড়, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5।
প্রচুরক
প্রচুরক হলো যে মানটি সবচেয়ে বেশিবার আসে। একটি সেটের একটি প্রচুরক, একাধিক প্রচুরক, বা প্রতিটি মান অনন্য হলে কোনো প্রচুরকই না-ও থাকতে পারে।
উদাহরণ ৩: [1,3,3,6,7,8,9]-এর প্রচুরক। মান 3 দুইবার আসে আর বাকি প্রতিটি মান একবার, তাই প্রচুরক 3। [2,2,3,5,5]-এ মান 2 ও 5 দুটোই দুইবার আসে, তাই সেই সেটে দুটি প্রচুরক আছে। mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3।
পরিসর
পরিসর হলো সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট মানের পার্থক্য। এটি বিস্তৃতির সবচেয়ে সহজ মাপ, আর পুরো সেট থেকে শুধু দুটি সংখ্যা ব্যবহার করে।
উদাহরণ ৪: [4,8,6,5,3]-এর পরিসর। সবচেয়ে বড় মান 8 আর সবচেয়ে ছোট 3, তাই পরিসর 8 − 3 = 5। ক্যালকুলেটরে, সরাসরি টাইপ করুন: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5।
ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতি
ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতি মাপে মানগুলো সাধারণত গড় থেকে কতদূর বসে। দুটোরই রেসিপি একই: প্রতিটি মানের গড় থেকে দূরত্ব নিন, সেটা বর্গ করুন, আর সেই বর্গগুলোর গড় নিন। বর্গ করা ঋণাত্মক চিহ্নগুলো সরিয়ে দেয়, তাই দূরত্বগুলো একে অপরকে বাতিল করতে পারে না, আর এটি গড় থেকে সবচেয়ে দূরের মানগুলোকে বাড়তি গুরুত্ব দেয়।
উদাহরণ ৫: [2,4,4,4,5,5,7,9]-এর ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতি। গড় 5। গড় থেকে দূরত্বগুলো হলো -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, আর তাদের বর্গ 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, যেগুলোর যোগফল 32। 8টি মানকে একটি নমুনা ধরে, n − 1 = 7 দিয়ে ভাগ করুন: 32 ÷ 7 = 4.5714। এটাই ভেদাংক। আদর্শ বিচ্যুতি এর বর্গমূল, প্রায় 2.138। ক্যালকুলেটরে, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 আর std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138।
আদর্শ বিচ্যুতি কী বলে
একটি ছোট আদর্শ বিচ্যুতি মানে মানগুলো গড়ের কাছাকাছি জড়ো থাকে। একটি বড় মানে সেগুলো ছড়িয়ে থাকে। [4,5,6] আর [1,5,9] সেট দুটোরই গড় 5, কিন্তু প্রথমটি তার চারপাশে শক্তভাবে বসে (আদর্শ বিচ্যুতি 1) আর দ্বিতীয়টি পুরো পরিসর জুড়ে ছড়িয়ে থাকে (আদর্শ বিচ্যুতি 4)। মোটামুটি বেল-কার্ভ আকারের ডেটার জন্য, প্রায় 68% মান গড়ের এক আদর্শ বিচ্যুতির মধ্যে পড়ে, যা 68-95-99.7 নিয়ম নামে পরিচিত। সেই 68% একটি অনুপাত, আর শতাংশ ক্যালকুলেটর একই ধরনের অনুপাতকে শতাংশে রূপান্তর করে দেয় যখন আপনার একটা দরকার।
জনসংখ্যা বনাম নমুনা
দুটি সূত্র কী দিয়ে ভাগ করে তাতে আলাদা। একটি জনসংখ্যা মানে অধ্যয়নের অধীনে থাকা দলের প্রতিটি সদস্য, আর এর ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতি n দিয়ে ভাগ হয়। একটি নমুনা মানে আপনি আসলে মেপেছেন এমন উপসেট, আর এটি n − 1 দিয়ে ভাগ হয়। এই ছোট পরিবর্তনটি নমুনাগুলো গড়ে পুরো জনসংখ্যার চেয়ে একটু কম ছড়ায় তার ক্ষতিপূরণ দেয়। [2,4,4,4,5,5,7,9]-এর জন্য এটি গুরুত্বপূর্ণ: জনসংখ্যা ভেদাংক 4 আর জনসংখ্যা আদর্শ বিচ্যুতি 2, অথচ নমুনা ভার্সন 4.5714 আর 2.138। বাস্তব ডেটা প্রায় সবসময় একটি নমুনা, আর এ কারণেই ক্যালকুলেটরের variance ও std ডিফল্টভাবে n − 1 ভার্সন ব্যবহার করে।
একটি সারাংশ বেছে নেওয়া
গড় প্রতিসম ডেটার জন্য ভালো কাজ করে। মধ্যক আউটলায়ার প্রতিরোধ করে: একটি চরম মান গড়কে টেনে নিলেও মধ্যক অপরিবর্তিত থাকে। প্রচুরক শ্রেণি ও পুনরাবৃত্ত মানের জন্য কাজ করে। যখন একটি সারাংশকে অনুপাত হিসেবে বলতে হয়, শতাংশ গাইড অংশগুলোকে শতাংশে রূপান্তর করা কভার করে, যা পরিসংখ্যানের বেশিরভাগ জায়গায় ব্যবহৃত হয় সেই একই অনুকূল ÷ মোট × 100 গণিত।
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
গড় নাকি মধ্যক, কোনটা ব্যবহার করব?
কয়েকটি চরম মান গড়কে বিকৃত করে দিলে মধ্যক বেছে নিন। একটি শহরে বাড়ির দাম এর একটি চেনা উদাহরণ: হাতে গোনা কিছু বিলাসবহুল বিক্রি গড়কে ওপরে ঠেলে দেয়, অথচ মধ্যক সাধারণ বাড়ির কাছাকাছি স্থির থাকে। ডেটা প্রতিসম হলে এবং মানগুলো আকারে কাছাকাছি হলে গড় ব্যবহার করুন।
ভেদাংক ও আদর্শ বিচ্যুতির জন্য n নাকি n − 1 দিয়ে ভাগ করব?
তালিকাটি পুরো জনসংখ্যা হলে n দিয়ে ভাগ করুন। এটি একটি বৃহত্তর জনসংখ্যার নমুনা হলে n − 1 দিয়ে ভাগ করুন, যা অনেক বেশি সাধারণ পরিস্থিতি। ক্যালকুলেটরের ডিফল্ট নমুনা ভার্সনের সঙ্গে মেলে, যেমন std([2,4,6,8,10]) → 3.1623।
2.138-এর একটি আদর্শ বিচ্যুতি মানে কী?
এটি গড় থেকে একটি মানের সাধারণ দূরত্ব, ডেটার একই এককে মাপা। [2,4,4,4,5,5,7,9] সেটের জন্য, মানগুলো গড় থেকে গড়ে প্রায় 2.1 এককে বসে, যেখানে গড় হলো 5।
একটি ডেটা সেটে কি একের বেশি প্রচুরক থাকতে পারে?
হ্যাঁ। একাধিক মান সবচেয়ে বেশি ঘটার ক্ষেত্রে সমান হলে, সেই সেটে ততগুলো প্রচুরক থাকে। [2,2,3,5,5] দ্বিপ্রচুরকী, প্রচুরক 2 এবং 5।