통계 기초: 평균, 중앙값, 최빈값, 범위, 분산, 표준편차

평균은 모든 값을 더한 뒤 개수로 나눈 것입니다. 중앙값은 데이터를 정렬했을 때 가운데 오는 값입니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 범위, 분산, 표준편차는 각각 숫자들이 얼마나 퍼져 있는지를 측정하며, 작은 데이터셋 하나로 이 모두를 명확히 보여줄 수 있습니다.

핵심 요약

• [4,8,6,5,3]의 평균은 5.2이고, 같은 집합의 중앙값은 5입니다.
• [2,4,4,4,5,5,7,9]의 표본 분산은 4.5714이며, 따라서 표본 표준편차는 2.138입니다.
• 두 집합이 평균을 공유할 수 있습니다: [4,5,6]과 [1,5,9] 모두 평균이 5이지만, 표준편차는 각각 1과 4입니다.
• 이 계산기는 기본적으로 표본 표준편차를 사용하므로, [2,4,6,8,10]에 대해 3.1623을 돌려줍니다.

평균

평균은 산술 평균입니다. 모든 값을 더한 뒤 값의 개수로 나눕니다. 대부분의 사람이 “평균”이라고 말할 때 뜻하는 요약값이 바로 이것입니다.

예제 1: [4,8,6,5,3]의 평균. 합은 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26이고 값이 5개이므로 평균은 26 ÷ 5 = 5.2입니다. 계산기에서는 mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. 통계 계산기는 같은 쉼표 구분 목록을 받아 풀이 과정을 보여줍니다.

중앙값

중앙값은 데이터를 정렬한 뒤 가운데에 오는 값입니다. 먼저 정렬하세요. 개수가 홀수이면 중앙값은 가운데 숫자입니다. 개수가 짝수이면 가운데 두 숫자의 평균을 냅니다.

예제 2: [1,3,3,6,7,8,9]의 중앙값. 이 집합은 이미 정렬되어 있고, 값이 7개이므로 가운데 자리는 4번째이며, 그 자리에는 6이 있습니다. 3개는 그 아래에, 3개는 그 위에 있습니다. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. 개수가 짝수인 경우, 예를 들어 [1,3,4,5,7,10]이라면 중앙값은 가운데 두 값의 평균, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5입니다.

최빈값

최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 어떤 집합은 최빈값이 하나일 수도, 여러 개일 수도, 모든 값이 유일할 때는 아예 없을 수도 있습니다.

예제 3: [1,3,3,6,7,8,9]의 최빈값. 값 3이 두 번 나타나고 다른 값은 모두 한 번씩 나타나므로 최빈값은 3입니다. [2,2,3,5,5]에서는 값 2와 5가 각각 두 번씩 나타나므로 이 집합은 최빈값이 두 개입니다. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

범위

범위는 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이입니다. 가장 단순한 산포 측정값이며, 전체 집합에서 단 두 숫자만 사용합니다.

예제 4: [4,8,6,5,3]의 범위. 가장 큰 값은 8, 가장 작은 값은 3이므로 범위는 8 − 3 = 5입니다. 계산기에 직접 입력하세요: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

분산과 표준편차

분산과 표준편차는 값들이 평균에서 일반적으로 얼마나 떨어져 있는지를 측정합니다. 둘 다 방법은 같습니다: 각 값과 평균의 거리를 구해 제곱한 뒤, 그 제곱값들의 평균을 냅니다. 제곱하면 음수 부호가 사라져 거리들이 서로 상쇄되지 않고, 평균에서 가장 멀리 떨어진 값에 더 큰 가중치를 줍니다.

예제 5: [2,4,4,4,5,5,7,9]의 분산과 표준편차. 평균은 5입니다. 평균으로부터의 거리는 -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4이고, 그 제곱은 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16이며 합은 32입니다. 8개의 값을 표본으로 취급하면 n − 1 = 7로 나눕니다: 32 ÷ 7 = 4.5714. 이것이 분산입니다. 표준편차는 그 제곱근으로, 약 2.138입니다. 계산기에서는 variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714, std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

표준편차가 알려주는 것

표준편차가 작다는 것은 값들이 평균에 가깝게 모여 있다는 뜻입니다. 크다는 것은 값들이 흩어져 있다는 뜻입니다. [4,5,6]과 [1,5,9] 두 집합 모두 평균이 5이지만, 앞의 것은 평균 주위에 촘촘히 모여 있고(표준편차 1) 뒤의 것은 전체 범위에 걸쳐 퍼져 있습니다(표준편차 4). 대략 종 모양 곡선을 따르는 데이터에서는 값의 약 68%가 평균에서 표준편차 한 개 범위 안에 들어가는데, 이를 68-95-99.7 규칙이라고 합니다. 이 68%는 하나의 비율이며, 퍼센트 계산기는 같은 종류의 비율을 원할 때 퍼센트로 바꿔 줍니다.

모집단과 표본

두 공식은 무엇으로 나누는지가 다릅니다. 모집단은 연구 대상 그룹 전체이며, 그 분산과 표준편차는 n으로 나눕니다. 표본은 실제로 측정한 부분집합이며, 대신 n − 1로 나눕니다. 이 작은 차이는 표본이 평균적으로 전체 모집단보다 약간 덜 퍼지는 경향을 보정합니다. [2,4,4,4,5,5,7,9]에서는 이 차이가 실제로 중요합니다: 모집단 분산은 4이고 모집단 표준편차는 2이지만, 표본 버전은 각각 4.5714와 2.138입니다. 실제 데이터는 거의 항상 표본이므로, 계산기의 variance와 std는 기본으로 n − 1 버전을 사용합니다.

요약값 선택하기

평균은 대칭적인 데이터에 잘 맞습니다. 중앙값은 이상값에 강합니다: 극단적인 값 하나가 평균은 끌어당기지만 중앙값은 그대로 둡니다. 최빈값은 범주형 데이터와 반복되는 값에 적합합니다. 요약값을 비율로 표현해야 할 때, 퍼센트 가이드는 통계 전반에서 사용하는 것과 같은 유리한 부분 ÷ 전체 × 100 산술로 부분을 퍼센트로 바꾸는 방법을 다룹니다.

자주 묻는 질문

평균과 중앙값 중 어느 것을 써야 하나요?

극단적인 값 몇 개가 평균을 왜곡할 만한 상황에서는 중앙값을 선호하세요. 도시의 집값이 전형적인 사례입니다: 소수의 고가 매물이 평균을 끌어올리는 동안 중앙값은 전형적인 집값 근처에 그대로 머뭅니다. 데이터가 대칭적이고 값들의 크기가 비슷할 때는 평균을 사용하세요.

분산과 표준편차는 n으로 나누나요, n − 1로 나누나요?

목록이 모집단 전체라면 n으로 나눕니다. 더 큰 모집단의 표본이라면 n − 1로 나누는데, 이쪽이 훨씬 더 흔한 상황입니다. 계산기의 기본값은 표본 버전과 일치합니다. 예: std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

표준편차 2.138은 무엇을 의미하나요?

데이터와 같은 단위로 측정했을 때, 값이 평균에서 일반적으로 떨어져 있는 거리입니다. [2,4,4,4,5,5,7,9]에서는 값들이 평균 5로부터 평균적으로 약 2.1만큼 떨어져 있습니다.

데이터셋에 최빈값이 두 개 이상 있을 수 있나요?

네. 여러 값이 가장 높은 빈도로 동률이면, 그 개수만큼 최빈값을 갖습니다. [2,2,3,5,5]는 최빈값이 2와 5로 두 개인 이봉 분포입니다.