أساسيات الإحصاء: المتوسط والوسيط والمنوال والمدى والتباين والانحراف المعياري

المتوسط هو مجموع كل القيم مقسومًا على عددها. الوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات. المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. المدى والتباين والانحراف المعياري كل منها يقيس مدى تشتت الأعداد، ومجموعة بيانات صغيرة واحدة يمكن أن تُظهرها جميعًا بوضوح.

أهم النقاط

• متوسط [4,8,6,5,3] هو 5.2، ووسيط المجموعة نفسها هو 5.
• تباين العينة لـ [2,4,4,4,5,5,7,9] هو 4.5714، لذا انحرافها المعياري هو 2.138.
• يمكن لمجموعتين أن تتشاركا متوسطًا: [4,5,6] و[1,5,9] كلاهما بمتوسط 5، لكن انحرافيهما المعياريين هما 1 و4.
• تفترض الآلة الحاسبة الانحراف المعياري للعينة، فبالنسبة لـ [2,4,6,8,10] تعيد 3.1623.

المتوسط

المتوسط هو الوسط الحسابي. اجمع كل القيم، ثم اقسم على عددها. إنه الملخّص الذي يقصده معظم الناس عندما يقولون “المعدل”.

مثال محلول 1: متوسط [4,8,6,5,3]. المجموع هو 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26، وهناك 5 قيم، لذا المتوسط هو 26 ÷ 5 = 5.2. على الآلة الحاسبة، mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. تأخذ حاسبة الإحصاء نفس القائمة المفصولة بفواصل وتُظهر خطوات الحل.

الوسيط

الوسيط هو القيمة الوسطى بعد فرز البيانات. افرز أولًا. مع عدد فردي من القيم، الوسيط هو الرقم الأوسط. مع عدد زوجي، اجمع الرقمين الأوسطين وقسّم على 2.

مثال محلول 2: وسيط [1,3,3,6,7,8,9]. المجموعة مُفرزة بالفعل، وبـ7 قيم يكون الموضع الأوسط هو الرابع، الذي يحمل 6. ثلاث قيم أدناه وثلاث أعلاه. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. لعدد زوجي، لنقل [1,3,4,5,7,10]، الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين، (4 + 5) ÷ 2 = 4.5.

المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. قد تحتوي المجموعة على منوال واحد، أو عدة منوالات، أو لا منوال على الإطلاق عندما تكون كل قيمة فريدة.

مثال محلول 3: منوال [1,3,3,6,7,8,9]. القيمة 3 تظهر مرتين وكل قيمة أخرى مرة واحدة، لذا المنوال هو 3. في [2,2,3,5,5] القيمتان 2 و5 تظهران مرتين كل منهما، لذا فإن لتلك المجموعة منوالين. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

المدى

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغرها. إنه أبسط مقياس للتشتت، ويستخدم رقمين فقط من المجموعة كلها.

مثال محلول 4: مدى [4,8,6,5,3]. أكبر قيمة هي 8 وأصغرها 3، لذا المدى هو 8 − 3 = 5. على الآلة الحاسبة، اكتبه مباشرة: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

التباين والانحراف المعياري

يقيس التباين والانحراف المعياري مدى بُعد القيم عادةً عن المتوسط. الوصفة متماثلة لكليهما: خذ مسافة كل قيمة عن المتوسط، ربّعها، ثم احسب متوسط تلك المربعات. التربيع يزيل الإشارات السالبة فلا تُلغي المسافات بعضها، ويمنح وزنًا إضافيًا للقيم الأبعد عن المتوسط.

مثال محلول 5: تباين وانحراف معياري لـ [2,4,4,4,5,5,7,9]. المتوسط هو 5. المسافات عن المتوسط هي -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4، ومربعاتها 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16، ومجموعها 32. مع 8 قيم مُعامَلة كعينة، اقسم على n − 1 = 7: 32 ÷ 7 = 4.5714. هذا هو التباين. الانحراف المعياري هو جذره التربيعي، حوالي 2.138. على الآلة الحاسبة، variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 وstd([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

ماذا يخبرك الانحراف المعياري

انحراف معياري صغير يعني أن القيم تلتصق بالمتوسط. وانحراف كبير يعني أنها تتشتت. المجموعتان [4,5,6] و[1,5,9] لهما متوسط 5، لكن الأولى تتمركز حوله بإحكام (انحراف 1) بينما الثانية تمتد عبر المدى كله (انحراف 4). للبيانات المتوزّعة تقريبًا كمنحنى جرسي، حوالي 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، وهي خاصية تُعرف بقاعدة 68-95-99.7. تلك الـ68% نسبة، وحاسبة النسبة المئوية تحوّل نفس نوع النسبة إلى نسبة مئوية عندما تريد ذلك.

المجتمع مقابل العينة

الصيغتان تختلفان فيما تقسمان عليه. المجتمع هو كل فرد في المجموعة قيد الدراسة، وتباينه وانحرافه المعياري يقسمان على n. العينة هي المجموعة الفرعية التي قِستها فعلًا، وتقسم على n − 1 بدلًا من ذلك. هذا التغيير الصغير يعوّض عن تشتت العينات بشكل أقل قليلًا من المجتمع كله في المتوسط. بالنسبة لـ [2,4,4,4,5,5,7,9] هذا مهم: تباين المجتمع هو 4 وانحرافه المعياري 2، بينما نسختا العينة هما 4.5714 و2.138. البيانات الحقيقية تكاد تكون دائمًا عينة، وهذا سبب استخدام variance وstd في الآلة الحاسبة نسخة n − 1 افتراضيًا.

اختيار ملخّص

المتوسط يعمل جيدًا للبيانات المتماثلة. الوسيط يقاوم القيم الشاذة: قيمة متطرفة واحدة تسحب المتوسط لكنها تترك الوسيط دون مساس. المنوال يعمل للفئات والقيم المتكررة. عندما يجب ذكر ملخّص كنسبة، يغطي دليل النسب المئوية تحويل الأجزاء إلى نسب مئوية، وهو نفس حساب المؤاتي ÷ الكلي × 100 المستخدم عبر معظم الإحصاء.

الأسئلة الشائعة

أي مقياس أستخدم، المتوسط أم الوسيط؟

فضّل الوسيط عندما تشوّه بضع قيم متطرفة المتوسط. أسعار المنازل في مدينة هي الحالة الكلاسيكية: حفنة من مبيعات فاخرة تدفع المتوسط لأعلى بينما يبقى الوسيط قريبًا من المنزل النموذجي. استخدم المتوسط عندما تكون البيانات متماثلة والقيم كلها متقاربة الحجم.

هل أقسم على n أم n − 1 للتباين والانحراف المعياري؟

اقسم على n عندما تكون القائمة هي المجتمع بأكمله. اقسم على n − 1 عندما تكون عينة من مجتمع أكبر، وهي الحالة الأكثر شيوعًا بكثير. الافتراضي في الآلة الحاسبة يطابق نسخة العينة، كما في std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

ماذا يعني انحراف معياري قدره 2.138؟

إنه المسافة النموذجية لقيمة عن المتوسط، مقاسة بنفس وحدات البيانات. بالنسبة لمجموعة [2,4,4,4,5,5,7,9]، تقع القيم على مسافة حوالي 2.1 وحدة من المتوسط 5 في المتوسط.

هل يمكن أن يكون لمجموعة بيانات أكثر من منوال واحد؟

نعم. عندما تتساوى عدة قيم في كونها الأكثر تكرارًا، يكون للمجموعة ذلك العدد من المنوالات. [2,2,3,5,5] ثنائية المنوال، بمنوالي 2 و5.