La media è la somma di tutti i valori divisa per il loro numero. La mediana è il valore centrale una volta ordinati i dati. La moda è il valore che compare più spesso. Il campo di variazione, la varianza e la deviazione standard misurano ciascuno quanto i numeri sono dispersi, e un piccolo insieme di dati può mostrarli tutti chiaramente.
Punti chiave
- La media di
[4,8,6,5,3]è5,2, e la mediana dello stesso insieme è5.- La varianza campionaria di
[2,4,4,4,5,5,7,9]è4,5714, quindi la sua deviazione standard è2,138.- Due insiemi possono condividere una media:
[4,5,6]e[1,5,9]hanno entrambi media5, ma le loro deviazioni standard sono1e4.- La calcolatrice usa come predefinita la deviazione standard campionaria, quindi per
[2,4,6,8,10]restituisce3,1623.
La media
La media è la media aritmetica. Somma ogni valore, poi dividi per quanti valori ci sono. È il riassunto a cui la maggior parte delle persone si riferisce quando dice “media”.
Esempio svolto 1: la media di [4,8,6,5,3]. La somma è 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, e ci sono 5 valori, quindi la media è 26 ÷ 5 = 5,2. Sulla calcolatrice, mean([4,8,6,5,3]) → = 5,2. La calcolatrice statistica accetta la stessa lista separata da virgole e mostra i passaggi.
La mediana
La mediana è il valore centrale dopo aver ordinato i dati. Ordina prima. Con un conteggio dispari, la mediana è il numero centrale. Con un conteggio pari, fai la media dei due numeri centrali.
Esempio svolto 2: la mediana di [1,3,3,6,7,8,9]. L’insieme è già ordinato, e con 7 valori la posizione centrale è la 4ª, che contiene 6. Tre valori stanno sotto e tre sopra. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. Per un conteggio pari, ad esempio [1,3,4,5,7,10], la mediana è la media dei due valori centrali, (4 + 5) ÷ 2 = 4,5.
La moda
La moda è il valore che compare più spesso. Un insieme può avere una moda, più mode, oppure nessuna quando ogni valore è unico.
Esempio svolto 3: la moda di [1,3,3,6,7,8,9]. Il valore 3 compare due volte e ogni altro valore una sola volta, quindi la moda è 3. In [2,2,3,5,5] i valori 2 e 5 compaiono entrambi due volte, quindi quell’insieme ha due mode. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.
Il campo di variazione
Il campo di variazione è la differenza tra il valore più grande e il più piccolo. È la misura più semplice della dispersione, e usa solo due numeri dell’intero insieme.
Esempio svolto 4: il campo di variazione di [4,8,6,5,3]. Il valore più grande è 8 e il più piccolo è 3, quindi il campo di variazione è 8 − 3 = 5. Sulla calcolatrice, digitalo direttamente: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.
Varianza e deviazione standard
Varianza e deviazione standard misurano quanto tipicamente i valori si trovano lontano dalla media. La ricetta è la stessa per entrambe: prendi la distanza di ogni valore dalla media, elevala al quadrato, e fai la media di quei quadrati. Elevare al quadrato rimuove i segni negativi così le distanze non possono annullarsi a vicenda, e dà peso maggiore ai valori più lontani dalla media.
Esempio svolto 5: varianza e deviazione standard di [2,4,4,4,5,5,7,9]. La media è 5. Le distanze dalla media sono -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, e i loro quadrati sono 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, che sommano a 32. Con 8 valori trattati come campione, dividi per n − 1 = 7: 32 ÷ 7 = 4,5714. Questa è la varianza. La deviazione standard è la sua radice quadrata, circa 2,138. Sulla calcolatrice, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4,5714 e std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2,138.
Cosa ti dice la deviazione standard
Una deviazione standard piccola significa che i valori si stringono attorno alla media. Una grande significa che si disperdono. Gli insiemi [4,5,6] e [1,5,9] hanno entrambi una media di 5, ma il primo sta stretto attorno a essa (dev. st. 1) mentre il secondo copre l’intero intervallo (dev. st. 4). Per dati a forma di campana approssimativa, circa il 68% dei valori cade entro una deviazione standard dalla media, una proprietà nota come regola 68-95-99,7. Quel 68% è una proporzione, e la calcolatrice delle percentuali converte lo stesso tipo di rapporto in una percentuale quando ne vuoi una.
Popolazione contro campione
Le due formule differiscono per cosa dividono. Una popolazione è ogni membro del gruppo studiato, e la sua varianza e deviazione standard dividono per n. Un campione è il sottoinsieme che hai effettivamente misurato, e divide per n − 1 invece. Quel piccolo cambiamento compensa il fatto che i campioni tendono in media a disperdersi un po’ meno dell’intera popolazione. Per [2,4,4,4,5,5,7,9] conta: la varianza di popolazione è 4 e la deviazione standard di popolazione è 2, mentre le versioni campionarie sono 4,5714 e 2,138. I dati reali sono quasi sempre un campione, per questo variance e std della calcolatrice usano di default la versione n − 1.
Scegliere un riassunto
La media funziona bene per dati simmetrici. La mediana resiste ai valori anomali: un valore estremo trascina la media ma lascia intatta la mediana. La moda funziona per categorie e valori ripetuti. Quando un riassunto deve essere espresso come proporzione, la guida alle percentuali copre la conversione di parti in percentuali, la stessa aritmetica favorevoli ÷ totali × 100 usata in gran parte della statistica.
Domande frequenti
Quale misura dovrei usare, la media o la mediana?
Preferisci la mediana quando pochi valori estremi distorcerebbero la media. I prezzi delle case in una città sono il caso classico: una manciata di vendite di lusso spinge la media verso l’alto mentre la mediana resta ancorata vicino alla casa tipica. Usa la media quando i dati sono simmetrici e i valori sono tutti di dimensione simile.
Divido per n o per n − 1 per varianza e deviazione standard?
Dividi per n quando l’elenco è l’intera popolazione. Dividi per n − 1 quando è un campione di una popolazione più grande, che è la situazione di gran lunga più comune. Il valore predefinito della calcolatrice corrisponde alla versione campionaria, come in std([2,4,6,8,10]) → 3,1623.
Cosa significa una deviazione standard di 2,138?
È la distanza tipica di un valore dalla media, misurata nelle stesse unità dei dati. Per l’insieme [2,4,4,4,5,5,7,9], i valori stanno mediamente a circa 2,1 unità dalla media di 5.
Un insieme di dati può avere più di una moda?
Sì. Quando più valori sono a pari merito per la frequenza più alta, l’insieme ha altrettante mode. [2,2,3,5,5] è bimodale, con mode 2 e 5.