平均は、すべての値を足して個数で割ったものです。中央値は、データを並べ替えたときの真ん中の値です。最頻値は、最も頻繁に現れる値です。範囲、分散、標準偏差はそれぞれ数値のばらつきの大きさを測るもので、1つの小さなデータセットでそのすべてをはっきり示せます。
要点まとめ
[4,8,6,5,3]の平均は5.2、同じセットの中央値は5です。[2,4,4,4,5,5,7,9]の標本分散は4.5714、その標準偏差は2.138です。- 2つのセットが同じ平均を持つことがあります。
[4,5,6]と[1,5,9]はどちらも平均が5ですが、標準偏差はそれぞれ1と4です。- この電卓は標本標準偏差をデフォルトとしているため、
[2,4,6,8,10]に対しては3.1623を返します。
平均
平均とは算術平均のことです。すべての値を足し合わせ、値の個数で割ります。「平均」と言うとき、多くの人が思い浮かべる要約値がこれです。
計算例1: [4,8,6,5,3]の平均。 合計は 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26、値の個数は5なので、平均は 26 ÷ 5 = 5.2 です。電卓では mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2。統計電卓も同じカンマ区切りのリストを受け取り、計算過程を表示します。
中央値
中央値は、データを並べ替えた後の真ん中の値です。まず並べ替えます。個数が奇数のときは中央値は真ん中の数です。個数が偶数のときは真ん中の2つの数を平均します。
計算例2: [1,3,3,6,7,8,9]の中央値。 このセットはすでに並べ替えられていて、7個の値のうち真ん中の枠は4番目で、そこにあるのは 6 です。その下に3つ、上に3つの値があります。median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6。個数が偶数の場合、たとえば [1,3,4,5,7,10] では、中央値は真ん中の2つの値の平均で、(4 + 5) ÷ 2 = 4.5 です。
最頻値
最頻値は、最も頻繁に現れる値です。あるセットには最頻値が1つあることも、複数あることも、すべての値がユニークなためまったくないこともあります。
計算例3: [1,3,3,6,7,8,9]の最頻値。 値3が2回、他のすべての値が1回ずつ現れるので、最頻値は 3 です。[2,2,3,5,5] では2と5がどちらも2回ずつ現れるので、このセットには2つの最頻値があります。mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3。
範囲
範囲は、最大値と最小値の差です。ばらつきを測る最もシンプルな指標であり、データセット全体からたった2つの数値だけを使います。
計算例4: [4,8,6,5,3]の範囲。 最大値は8、最小値は3なので、範囲は 8 − 3 = 5 です。電卓では直接入力できます。max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5。
分散と標準偏差
分散と標準偏差は、値が平均からどれくらい離れているのが典型的かを測ります。どちらの手順も同じで、各値の平均からの距離を求め、それを2乗し、その2乗した値を平均します。2乗することで負の符号が消え、距離が互いに打ち消し合わなくなり、平均から最も離れた値により大きな重みが与えられます。
計算例5: [2,4,4,4,5,5,7,9]の分散と標準偏差。 平均は5です。平均からの距離は -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4 で、それらの2乗は 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 となり、合計は32です。8個の値を標本として扱う場合は n − 1 = 7 で割ります。32 ÷ 7 = 4.5714。これが分散です。標準偏差はその平方根で、約2.138です。電卓では variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714、std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138。
標準偏差が示すもの
標準偏差が小さいということは、値が平均に密集していることを意味します。大きいということは、値が散らばっていることを意味します。[4,5,6] と [1,5,9] はどちらも平均が5ですが、前者はその周りにぴったり集まっており(標準偏差 1)、後者は範囲全体に広がっています(標準偏差 4)。おおよそ釣鐘型に分布するデータでは、値のおよそ68%が平均から標準偏差1つ分の範囲に収まり、これは68-95-99.7ルールとして知られる性質です。この68%は割合であり、パーセント電卓は同じ種類の比率をパーセントに変換したいときに使えます。
母集団と標本の違い
この2つの公式は、何で割るかが異なります。母集団は研究対象のグループ全体であり、その分散と標準偏差はnで割ります。標本は実際に測定した部分集合であり、代わりに n − 1 で割ります。このわずかな調整は、標本が平均して母集団全体よりもわずかに小さくばらつく傾向を補正するためのものです。[2,4,4,4,5,5,7,9] の場合、この違いは無視できません。母集団分散は 4、母集団標準偏差は 2 ですが、標本版はそれぞれ 4.5714 と 2.138 です。実際のデータはほとんど常に標本であり、これが電卓の variance と std がデフォルトで n − 1 版を使う理由です。
要約統計量の選び方
平均は対称的なデータに向いています。中央値は外れ値に強く、1つの極端な値が平均を引っ張っても中央値は動きません。最頻値はカテゴリや繰り返しの値に向いています。ある要約を割合として述べる必要があるときは、パーセントガイドが部分を百分率に変換する方法を解説しており、これは統計のほとんどの場面で使われる「好ましい結果 ÷ 全結果 × 100」という同じ算数です。
よくある質問
平均と中央値のどちらを使うべきですか?
一部の極端な値が平均を歪めてしまう場合は中央値を優先してください。ある都市の住宅価格は典型的なケースです。一握りの高級物件の売却が平均を押し上げる一方で、中央値は典型的な住宅の近くにとどまります。データが対称的で、値の大きさがすべて似通っている場合は平均を使います。
分散と標準偏差はnで割りますか、それともn − 1で割りますか?
リストが母集団全体であればnで割ります。より大きな母集団の標本であれば n − 1 で割ります。こちらのほうがはるかに一般的な状況です。電卓のデフォルトは標本版に一致していて、たとえば std([2,4,6,8,10]) → 3.1623 です。
標準偏差2.138は何を意味しますか?
これは、データと同じ単位で測った、平均からの値の典型的な距離です。セット [2,4,4,4,5,5,7,9] では、値は平均5からおよそ2.1単位離れたところにあります。
データセットが複数の最頻値を持つことはありますか?
はい。複数の値が最も高い頻度で並ぶ場合、そのセットにはその数だけ最頻値があります。[2,2,3,5,5] は二峰性で、最頻値は 2 と 5 です。