Bases de la statistique : moyenne, médiane, mode, étendue, variance et écart type

La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. La médiane est la valeur du milieu une fois les données triées. Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. L’étendue, la variance et l’écart type mesurent chacun à quel point les nombres sont dispersés, et un seul petit jeu de données suffit à les montrer tous clairement.

Points clés

• La moyenne de [4,8,6,5,3] est 5.2, et la médiane du même jeu est 5.
• La variance d’échantillon de [2,4,4,4,5,5,7,9] est 4.5714, donc son écart type est 2.138.
• Deux jeux peuvent partager une moyenne : [4,5,6] et [1,5,9] font tous deux 5 de moyenne, mais leurs écarts types valent 1 et 4.
• La calculatrice utilise l’écart type d’échantillon par défaut, donc pour [2,4,6,8,10] elle renvoie 3.1623.

La moyenne

La moyenne est la moyenne arithmétique. Additionnez toutes les valeurs, puis divisez par leur nombre. C’est le résumé auquel la plupart des gens pensent quand ils disent “moyenne”.

Exemple détaillé 1 : la moyenne de [4,8,6,5,3]. La somme est 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, et il y a 5 valeurs, donc la moyenne est 26 ÷ 5 = 5.2. Sur la calculatrice, mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. La calculatrice de statistiques prend cette même liste séparée par des virgules et montre le détail du calcul.

La médiane

La médiane est la valeur du milieu une fois les données triées. Triez d’abord. Avec un nombre impair de valeurs, la médiane est le nombre du milieu. Avec un nombre pair, faites la moyenne des deux nombres du milieu.

Exemple détaillé 2 : la médiane de [1,3,3,6,7,8,9]. Le jeu est déjà trié, et avec 7 valeurs la case du milieu est la 4e, qui contient 6. Trois valeurs se trouvent en dessous, trois au-dessus. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. Pour un nombre pair, disons [1,3,4,5,7,10], la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5.

Le mode

Le mode est la valeur qui apparaît le plus souvent. Un jeu peut avoir un mode, plusieurs modes, ou aucun du tout quand chaque valeur est unique.

Exemple détaillé 3 : le mode de [1,3,3,6,7,8,9]. La valeur 3 apparaît deux fois et toutes les autres une fois, donc le mode est 3. Dans [2,2,3,5,5] les valeurs 2 et 5 apparaissent toutes deux deux fois, donc le jeu a deux modes. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

L’étendue

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. C’est la mesure de dispersion la plus simple, et elle n’utilise que deux nombres du jeu entier.

Exemple détaillé 4 : l’étendue de [4,8,6,5,3]. La plus grande valeur est 8 et la plus petite est 3, donc l’étendue est 8 − 3 = 5. Sur la calculatrice, tapez-la directement : max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

La variance et l’écart type

La variance et l’écart type mesurent à quelle distance les valeurs se situent en général de la moyenne. La recette est la même pour les deux : prenez la distance de chaque valeur à la moyenne, élevez-la au carré, puis faites la moyenne de ces carrés. Élever au carré supprime les signes négatifs pour que les distances ne puissent pas s’annuler, et cela donne plus de poids aux valeurs les plus éloignées de la moyenne.

Exemple détaillé 5 : variance et écart type de [2,4,4,4,5,5,7,9]. La moyenne est 5. Les distances à la moyenne sont -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, et leurs carrés sont 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, qui font 32 en tout. Avec 8 valeurs traitées comme un échantillon, divisez par n − 1 = 7 : 32 ÷ 7 = 4.5714. C’est la variance. L’écart type est sa racine carrée, environ 2.138. Sur la calculatrice, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 et std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

Ce que l’écart type vous dit

Un petit écart type signifie que les valeurs se serrent autour de la moyenne. Un grand signifie qu’elles se dispersent. Les jeux [4,5,6] et [1,5,9] ont tous deux une moyenne de 5, mais le premier reste serré autour d’elle (écart type 1) tandis que le second couvre toute la gamme (écart type 4). Pour des données qui ont à peu près la forme d’une courbe en cloche, environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d’un écart type de la moyenne, une propriété connue sous le nom de règle 68-95-99.7. Ces 68 % sont une proportion, et la calculatrice de pourcentages convertit le même genre de rapport en pour cent quand vous en voulez un.

Population contre échantillon

Les deux formules diffèrent par ce qu’elles divisent. Une population est chaque membre du groupe étudié, et sa variance et son écart type divisent par n. Un échantillon est le sous-ensemble que vous avez réellement mesuré, et il divise par n − 1 à la place. Ce petit changement compense le fait que les échantillons se dispersent en moyenne un peu moins que toute la population. Pour [2,4,4,4,5,5,7,9] cela change la réponse : la variance de population est 4 et l’écart type de population est 2, tandis que les versions d’échantillon valent 4.5714 et 2.138. Les données réelles sont presque toujours un échantillon, c’est pourquoi variance et std de la calculatrice utilisent la version en n − 1 par défaut.

Choisir un résumé

La moyenne fonctionne bien pour les données symétriques. La médiane résiste aux valeurs aberrantes : une valeur extrême tire la moyenne mais laisse la médiane intacte. Le mode fonctionne pour les catégories et les valeurs répétées. Quand un résumé doit être exprimé en proportion, le guide des pourcentages couvre la conversion des parts en pour cent, qui repose sur la même arithmétique favorables ÷ total × 100 utilisée dans la majeure partie de la statistique.

Questions fréquentes

Quelle mesure utiliser, la moyenne ou la médiane ?

Préférez la médiane quand quelques valeurs extrêmes déformeraient la moyenne. Les prix des maisons dans une ville sont le cas classique : une poignée de ventes de luxe tire la moyenne vers le haut tandis que la médiane reste ancrée près de la maison typique. Utilisez la moyenne quand les données sont symétriques et que les valeurs ont toutes des tailles voisines.

Dois-je diviser par n ou par n − 1 pour la variance et l’écart type ?

Divisez par n quand la liste est toute la population. Divisez par n − 1 quand c’est un échantillon d’une population plus grande, ce qui est de loin la situation la plus courante. La valeur par défaut de la calculatrice correspond à la version d’échantillon, comme dans std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

Que signifie un écart type de 2.138 ?

C’est la distance typique d’une valeur par rapport à la moyenne, mesurée dans les mêmes unités que les données. Pour le jeu [2,4,4,4,5,5,7,9], les valeurs se situent à environ 2.1 unités de la moyenne de 5 en moyenne.

Un jeu de données peut-il avoir plus d’un mode ?

Oui. Quand plusieurs valeurs sont à égalité pour la plus fréquente, le jeu a autant de modes. [2,2,3,5,5] est bimodal, avec les modes 2 et 5.