माध्य हर मान को जोड़कर गिनती से भाग देने पर मिलता है। माध्यिका डेटा को क्रमबद्ध करने के बाद बीच वाला मान है। बहुलक वह मान है जो सबसे ज़्यादा बार दिखता है। परिसर, प्रसरण, और मानक विचलन हर एक यह मापता है कि संख्याएँ कितनी फैली हुई हैं, और एक छोटा डेटा सेट इन सबको साफ़ दिखा सकता है।
मुख्य बातें
[4,8,6,5,3]का माध्य5.2है, और उसी सेट की माध्यिका5है।[2,4,4,4,5,5,7,9]का नमूना प्रसरण4.5714है, इसलिए इसका मानक विचलन2.138है।- दो सेट एक ही माध्य साझा कर सकते हैं:
[4,5,6]और[1,5,9]दोनों का औसत5है, लेकिन इनके मानक विचलन1और4हैं।- कैलकुलेटर डिफ़ॉल्ट रूप से नमूना मानक विचलन देता है, इसलिए
[2,4,6,8,10]के लिए यह3.1623लौटाता है।
माध्य
माध्य अंकगणितीय औसत है। हर मान को जोड़ें, फिर मानों की गिनती से भाग दें। जब लोग “औसत” कहते हैं तो यही संक्षेप ज़्यादातर उनके मतलब होता है।
वर्किंग उदाहरण 1: [4,8,6,5,3] का माध्य। योग है 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, और 5 मान हैं, इसलिए माध्य है 26 ÷ 5 = 5.2। कैलकुलेटर पर, mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2। स्टैटिस्टिक्स कैलकुलेटर वही अल्पविराम-से-अलग की गई सूची लेता है और काम दिखाता है।
माध्यिका
माध्यिका डेटा को क्रमबद्ध करने के बाद बीच में आने वाला मान है। पहले क्रमबद्ध करें। विषम गिनती में, माध्यिका बीच वाली संख्या है। सम गिनती में, दोनों बीच वाली संख्याओं का औसत लें।
वर्किंग उदाहरण 2: [1,3,3,6,7,8,9] की माध्यिका। सेट पहले से क्रमबद्ध है, और 7 मानों में बीच वाला स्लॉट चौथा है, जिसमें 6 है। इसके नीचे तीन मान बैठते हैं और ऊपर तीन। median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6। सम गिनती के लिए, मान लीजिए [1,3,4,5,7,10], माध्यिका दोनों बीच वाले मानों का औसत है, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5।
बहुलक
बहुलक वह मान है जो सबसे ज़्यादा बार दिखता है। किसी सेट का एक बहुलक हो सकता है, कई बहुलक हो सकते हैं, या कोई नहीं भी हो सकता जब हर मान अद्वितीय हो।
वर्किंग उदाहरण 3: [1,3,3,6,7,8,9] का बहुलक। मान 3 दो बार दिखता है और बाकी हर मान एक बार, इसलिए बहुलक है 3। [2,2,3,5,5] में 2 और 5 दोनों दो-दो बार दिखते हैं, इसलिए उस सेट के दो बहुलक हैं। mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3।
परिसर
परिसर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के बीच का अंतर है। यह फैलाव का सबसे सरल माप है, और यह पूरे सेट में से सिर्फ़ दो संख्याओं का उपयोग करता है।
वर्किंग उदाहरण 4: [4,8,6,5,3] का परिसर। सबसे बड़ा मान 8 है और सबसे छोटा 3 है, इसलिए परिसर है 8 − 3 = 5। कैलकुलेटर पर, इसे सीधे टाइप करें: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5।
प्रसरण और मानक विचलन
प्रसरण और मानक विचलन मापते हैं कि मान आमतौर पर माध्य से कितनी दूर बैठते हैं। दोनों के लिए तरीका एक जैसा है: हर मान की माध्य से दूरी लें, उसे वर्ग करें, और उन वर्गों का औसत निकालें। वर्ग करना ऋणात्मक चिह्नों को हटा देता है ताकि दूरियाँ एक-दूसरे को रद्द न कर सकें, और यह उन मानों को अतिरिक्त भार देता है जो माध्य से सबसे दूर हैं।
वर्किंग उदाहरण 5: [2,4,4,4,5,5,7,9] का प्रसरण और मानक विचलन। माध्य 5 है। माध्य से दूरियाँ हैं -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, और इनके वर्ग हैं 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, जो जुड़कर 32 बनते हैं। 8 मानों को एक नमूने के रूप में मानते हुए, n − 1 = 7 से भाग दें: 32 ÷ 7 = 4.5714। यह प्रसरण है। मानक विचलन इसका वर्गमूल है, लगभग 2.138। कैलकुलेटर पर, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 और std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138।
मानक विचलन आपको क्या बताता है
एक छोटा मानक विचलन बताता है कि मान माध्य के करीब चिपके हैं। एक बड़ा बताता है कि वे बिखरे हुए हैं। सेट [4,5,6] और [1,5,9] दोनों का माध्य 5 है, लेकिन पहला इसके चारों ओर कसकर बैठता है (std 1) जबकि दूसरा पूरे परिसर में फैला है (std 4)। मोटे तौर पर घंटी-आकार के डेटा के लिए, लगभग 68% मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर आते हैं, जो 68-95-99.7 नियम के नाम से जाना जाने वाला गुण है। वह 68% एक अनुपात है, और प्रतिशत कैलकुलेटर उसी तरह के अनुपात को प्रतिशत में बदल देता है जब आपको एक चाहिए हो।
जनसंख्या बनाम नमूना
दोनों सूत्र इस बात में भिन्न हैं कि वे किससे भाग देते हैं। एक जनसंख्या अध्ययन के तहत समूह का हर सदस्य है, और इसका प्रसरण व मानक विचलन n से भाग देते हैं। एक नमूना वह उपसमूह है जिसे आपने असल में मापा, और यह इसके बजाय n − 1 से भाग देता है। वह छोटा-सा बदलाव इसकी भरपाई करता है कि नमूने औसतन पूरी जनसंख्या से थोड़ा कम फैलते हैं। [2,4,4,4,5,5,7,9] के लिए यह मायने रखता है: जनसंख्या प्रसरण 4 है और जनसंख्या मानक विचलन 2 है, जबकि नमूना संस्करण 4.5714 और 2.138 हैं। असली डेटा लगभग हमेशा एक नमूना होता है, यही वजह है कि कैलकुलेटर के variance और std डिफ़ॉल्ट रूप से n − 1 वाला संस्करण उपयोग करते हैं।
एक संक्षेप चुनना
सममित डेटा के लिए माध्य अच्छा काम करता है। माध्यिका आउटलायर के प्रति प्रतिरोधी है: एक अतिरेक मान माध्य को खींचता है लेकिन माध्यिका को छूता तक नहीं। बहुलक श्रेणियों और दोहराए गए मानों के लिए काम करता है। जब किसी संक्षेप को अनुपात के रूप में बताना हो, तो प्रतिशत गाइड भागों को प्रतिशत में बदलना कवर करती है, जो वही अनुकूल ÷ कुल × 100 अंकगणित है जिसका उपयोग ज़्यादातर सांख्यिकी में होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मुझे माध्य या माध्यिका में से किसका उपयोग करना चाहिए?
जब कुछ अतिरेक मान माध्य को विकृत कर देंगे, तो माध्यिका को प्राथमिकता दें। किसी शहर में घरों की कीमतें एक क्लासिक मामला हैं: कुछ मुट्ठी भर लक्ज़री बिक्री माध्य को ऊपर धकेल देती हैं जबकि माध्यिका सामान्य घर के करीब टिकी रहती है। माध्य का उपयोग करें जब डेटा सममित हो और मान आकार में सभी समान हों।
प्रसरण और मानक विचलन के लिए मैं n या n − 1 से भाग दूँ?
जब सूची पूरी जनसंख्या हो तो n से भाग दें। जब यह किसी बड़ी जनसंख्या का नमूना हो, जो कहीं ज़्यादा आम स्थिति है, तो n − 1 से भाग दें। कैलकुलेटर का डिफ़ॉल्ट नमूना संस्करण से मेल खाता है, जैसे std([2,4,6,8,10]) → 3.1623।
2.138 के मानक विचलन का क्या मतलब है?
यह माध्य से किसी मान की सामान्य दूरी है, डेटा की ही इकाइयों में मापी गई। सेट [2,4,4,4,5,5,7,9] के लिए, मान औसतन 5 के माध्य से लगभग 2.1 इकाई दूर बैठते हैं।
क्या किसी डेटा सेट का एक से ज़्यादा बहुलक हो सकता है?
हाँ। जब कई मान सबसे ज़्यादा बार आने में बराबरी करें, तो सेट के उतने ही बहुलक होते हैं। [2,2,3,5,5] द्विबहुलक है, जिसके बहुलक 2 और 5 हैं।