La media es cada valor sumado y dividido entre el número de datos. La mediana es el valor central una vez ordenados los datos. La moda es el valor que aparece con más frecuencia. El rango, la varianza y la desviación típica miden cada uno cuánto se dispersan los números, y un conjunto de datos pequeño puede mostrarlos todos con claridad.

Ideas clave

La media de [4,8,6,5,3] es 5.2, y la mediana del mismo conjunto es 5.

La varianza muestral de [2,4,4,4,5,5,7,9] es 4.5714, así que su desviación típica es 2.138.

Dos conjuntos pueden compartir media: [4,5,6] y [1,5,9] promedian ambos 5, pero sus desviaciones típicas son 1 y 4.

La calculadora usa por defecto la desviación típica muestral, así que para [2,4,6,8,10] devuelve 3.1623.

La media

La media es el promedio aritmético. Suma todos los valores y divide entre cuántos valores hay. Es el resumen que la mayoría quiere decir cuando habla de “promedio”.

Ejemplo resuelto 1: la media de [4,8,6,5,3]. La suma es 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, y hay 5 valores, así que la media es 26 ÷ 5 = 5.2. En la calculadora, mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. La calculadora de estadística toma esa misma lista separada por comas y muestra el procedimiento.

La mediana

La mediana es el valor del centro después de ordenar los datos. Ordena primero. Con un número impar de datos, la mediana es el número central. Con un número par, promedia los dos números centrales.

Ejemplo resuelto 2: la mediana de [1,3,3,6,7,8,9]. El conjunto ya está ordenado, y con 7 valores la posición central es la 4ª, que ocupa el 6. Tres valores quedan por debajo y tres por encima. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. Para un número par, digamos [1,3,4,5,7,10], la mediana es el promedio de los dos valores centrales, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5.

La moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia. Un conjunto puede tener una moda, varias modas o ninguna cuando todos los valores son únicos.

Ejemplo resuelto 3: la moda de [1,3,3,6,7,8,9]. El valor 3 aparece dos veces y todos los demás una, así que la moda es 3. En [2,2,3,5,5] los valores 2 y 5 aparecen ambos dos veces, así que ese conjunto tiene dos modas. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

El rango

El rango es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño. Es la medida de dispersión más simple, y solo usa dos números de todo el conjunto.

Ejemplo resuelto 4: el rango de [4,8,6,5,3]. El valor más grande es 8 y el más pequeño es 3, así que el rango es 8 − 3 = 5. En la calculadora, escríbelo directamente: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

Varianza y desviación típica

La varianza y la desviación típica miden cuánto se alejan en promedio los valores de la media. La receta es la misma para ambas: toma la distancia de cada valor a la media, elévala al cuadrado y promedia esos cuadrados. Elevar al cuadrado elimina los signos negativos para que las distancias no se cancelen, y da más peso a los valores que están más lejos de la media.

Ejemplo resuelto 5: varianza y desviación típica de [2,4,4,4,5,5,7,9]. La media es 5. Las distancias a la media son -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, y sus cuadrados son 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que suman 32. Con 8 valores tratados como muestra, divide entre n − 1 = 7: 32 ÷ 7 = 4.5714. Eso es la varianza. La desviación típica es su raíz cuadrada, unos 2.138. En la calculadora, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 y std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

Qué te dice la desviación típica

Una desviación típica pequeña significa que los valores se agrupan junto a la media. Una grande significa que se dispersan. Los conjuntos [4,5,6] y [1,5,9] tienen ambos una media de 5, pero el primero se mantiene apretado alrededor (desviación 1) mientras que el segundo abarca todo el rango (desviación 4). Para datos con forma parecida a una campana, unos 68% de los valores caen dentro de una desviación típica de la media, una propiedad conocida como la regla 68-95-99.7. Ese 68% es una proporción, y la calculadora de porcentajes convierte ese mismo tipo de razón en un porcentaje cuando lo necesitas.

Población frente a muestra

Las dos fórmulas difieren en lo que dividen. Una población es cada miembro del grupo en estudio, y su varianza y desviación típica dividen entre n. Una muestra es el subconjunto que en realidad mediste, y divide entre n − 1 en su lugar. Ese pequeño cambio compensa que las muestras se dispersan un poco menos que la población completa en promedio. Para [2,4,4,4,5,5,7,9] importa: la varianza poblacional es 4 y la desviación típica poblacional es 2, mientras que las versiones muestrales son 4.5714 y 2.138. Los datos reales casi siempre son una muestra, por eso variance y std de la calculadora usan la versión con n − 1 por defecto.

Elegir un resumen

La media funciona bien para datos simétricos. La mediana resiste los valores atípicos: un valor extremo tira de la media pero deja intacta la mediana. La moda sirve para categorías y valores repetidos. Cuando un resumen tiene que expresarse como proporción, la guía de porcentajes cubre cómo convertir partes en porcentajes, que es la misma aritmética favorables ÷ total × 100 usada en gran parte de la estadística.

Preguntas frecuentes

¿Qué medida debo usar, la media o la mediana?

Prefiere la mediana cuando unos pocos valores extremos distorsionarían la media. Los precios de las casas en una ciudad son el caso clásico: un puñado de ventas de lujo sube la media mientras la mediana se mantiene anclada cerca de la casa típica. Usa la media cuando los datos son simétricos y los valores tienen un tamaño parecido.

¿Divido entre n o entre n − 1 para la varianza y la desviación típica?

Divide entre n cuando la lista sea toda la población. Divide entre n − 1 cuando sea una muestra de una población mayor, que es la situación mucho más común. El valor por defecto de la calculadora coincide con la versión muestral, como en std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

¿Qué significa una desviación típica de 2.138?

Es la distancia típica de un valor a la media, medida en las mismas unidades que los datos. Para el conjunto [2,4,4,4,5,5,7,9], los valores se mueven unos 2.1 unidades de la media de 5 en promedio.

¿Puede un conjunto de datos tener más de una moda?

Sí. Cuando varios valores empatan por la mayor frecuencia, el conjunto tiene esa cantidad de modas. [2,2,3,5,5] es bimodal, con modas 2 y 5.