A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade. A mediana é o valor do meio depois que os dados são ordenados. A moda é o valor que aparece com mais frequência. Amplitude, variância e desvio padrão medem, cada um à sua maneira, o quanto os números estão dispersos, e um único conjunto de dados pequeno consegue mostrar todos eles com clareza.

Principais pontos

A média de [4,8,6,5,3] é 5.2, e a mediana do mesmo conjunto é 5.

A variância amostral de [2,4,4,4,5,5,7,9] é 4.5714, então seu desvio padrão é 2.138.

Dois conjuntos podem compartilhar uma média: [4,5,6] e [1,5,9] têm ambos média 5, mas seus desvios padrão são 1 e 4.

A calculadora usa por padrão o desvio padrão amostral, então para [2,4,6,8,10] ela retorna 3.1623.

A média

A média é a média aritmética. Some todos os valores e depois divida pela quantidade deles. É o resumo que a maioria das pessoas tem em mente ao dizer “média”.

Exemplo resolvido 1: a média de [4,8,6,5,3]. A soma é 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, e há 5 valores, então a média é 26 ÷ 5 = 5.2. Na calculadora, mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. A calculadora de estatística recebe essa mesma lista separada por vírgulas e mostra o cálculo.

A mediana

A mediana é o valor do meio depois de ordenar os dados. Ordene primeiro. Com uma quantidade ímpar de valores, a mediana é o número do meio. Com uma quantidade par, faça a média dos dois números centrais.

Exemplo resolvido 2: a mediana de [1,3,3,6,7,8,9]. O conjunto já está ordenado, e com 7 valores a posição central é a 4ª, que contém 6. Três valores ficam abaixo e três acima. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. Para uma quantidade par, digamos [1,3,4,5,7,10], a mediana é a média dos dois valores centrais, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5.

A moda

A moda é o valor que aparece com mais frequência. Um conjunto pode ter uma moda, várias modas, ou nenhuma quando todo valor é único.

Exemplo resolvido 3: a moda de [1,3,3,6,7,8,9]. O valor 3 aparece duas vezes e todos os outros valores uma vez, então a moda é 3. Em [2,2,3,5,5] os valores 2 e 5 aparecem ambos duas vezes, então esse conjunto tem duas modas. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

A amplitude

A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. É a medida de dispersão mais simples, e usa apenas dois números do conjunto inteiro.

Exemplo resolvido 4: a amplitude de [4,8,6,5,3]. O maior valor é 8 e o menor é 3, então a amplitude é 8 − 3 = 5. Na calculadora, digite diretamente: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

Variância e desvio padrão

Variância e desvio padrão medem o quanto os valores costumam se afastar da média. A receita é a mesma para os dois: pegue a distância de cada valor até a média, eleve ao quadrado, e faça a média desses quadrados. Elevar ao quadrado remove os sinais negativos para que as distâncias não se cancelem, e dá peso extra aos valores mais distantes da média.

Exemplo resolvido 5: variância e desvio padrão de [2,4,4,4,5,5,7,9]. A média é 5. As distâncias até a média são -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, e seus quadrados são 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, que somam 32. Com 8 valores tratados como amostra, divida por n − 1 = 7: 32 ÷ 7 = 4.5714. Essa é a variância. O desvio padrão é sua raiz quadrada, cerca de 2.138. Na calculadora, variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 e std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

O que o desvio padrão indica

Um desvio padrão pequeno significa que os valores se agrupam perto da média. Um grande significa que eles se espalham. Os conjuntos [4,5,6] e [1,5,9] têm ambos média 5, mas o primeiro fica bem concentrado ao redor dela (desvio padrão 1) enquanto o segundo cobre toda a amplitude (desvio padrão 4). Para dados com formato aproximado de curva de sino, cerca de 68% dos valores caem dentro de um desvio padrão da média, uma propriedade conhecida como regra 68-95-99,7. Esse 68% é uma proporção, e a calculadora de porcentagem converte esse mesmo tipo de razão em porcentagem quando você quiser.

População versus amostra

As duas fórmulas diferem no que dividem. Uma população é todo membro do grupo em estudo, e sua variância e desvio padrão dividem por n. Uma amostra é o subconjunto que você de fato mediu, e ela divide por n − 1. Essa pequena mudança compensa o fato de amostras se espalharem, em média, um pouco menos do que a população inteira. Para [2,4,4,4,5,5,7,9] isso importa: a variância populacional é 4 e o desvio padrão populacional é 2, enquanto as versões amostrais são 4.5714 e 2.138. Dados reais quase sempre são uma amostra, e é por isso que variance e std da calculadora usam a versão n − 1 por padrão.

Escolhendo um resumo

A média funciona bem para dados simétricos. A mediana resiste a valores extremos: um único valor atípico puxa a média, mas deixa a mediana intocada. A moda funciona para categorias e valores repetidos. Quando um resumo precisa ser expresso como proporção, o guia de porcentagens cobre a conversão de partes em porcentagens, a mesma aritmética favoráveis ÷ total × 100 usada em boa parte da estatística.

Perguntas frequentes

Devo usar a média ou a mediana?

Prefira a mediana quando alguns valores extremos distorceriam a média. Preços de imóveis em uma cidade são o caso clássico: um punhado de vendas de luxo empurra a média para cima enquanto a mediana permanece ancorada perto do imóvel típico. Use a média quando os dados forem simétricos e os valores tiverem tamanhos parecidos.

Divido por n ou por n − 1 na variância e no desvio padrão?

Divida por n quando a lista for a população inteira. Divida por n − 1 quando for uma amostra de uma população maior, que é a situação de longe mais comum. O padrão da calculadora corresponde à versão amostral, como em std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

O que significa um desvio padrão de 2.138?

É a distância típica de um valor em relação à média, medida nas mesmas unidades dos dados. Para o conjunto [2,4,4,4,5,5,7,9], os valores ficam, em média, cerca de 2,1 unidades distantes da média de 5.

Um conjunto de dados pode ter mais de uma moda?

Sim. Quando vários valores empatam como os mais frequentes, o conjunto tem tantas modas quantas forem empatadas. [2,2,3,5,5] é bimodal, com modas 2 e 5.