Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert, sobald die Daten sortiert sind. Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Spannweite, Varianz und Standardabweichung messen jeweils, wie stark die Zahlen streuen, und ein kleiner Datensatz kann alles davon klar zeigen.

Die wichtigsten Punkte

Der Mittelwert von [4,8,6,5,3] ist 5.2, der Median desselben Datensatzes ist 5.

Die Stichprobenvarianz von [2,4,4,4,5,5,7,9] ist 4.5714, also ist die Standardabweichung 2.138.

Zwei Datensätze können denselben Mittelwert haben: [4,5,6] und [1,5,9] ergeben beide im Durchschnitt 5, aber ihre Standardabweichungen sind 1 und 4.

Der Rechner verwendet standardmäßig die Stichproben-Standardabweichung, für [2,4,6,8,10] liefert er also 3.1623.

Der Mittelwert

Der Mittelwert ist der arithmetische Durchschnitt. Zähle jeden Wert zusammen und teile dann durch die Anzahl der Werte. Es ist die Kennzahl, die die meisten meinen, wenn sie „Durchschnitt“ sagen.

Durchgerechnetes Beispiel 1: der Mittelwert von [4,8,6,5,3]. Die Summe ist 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26, und es gibt 5 Werte, also ist der Mittelwert 26 ÷ 5 = 5.2. Auf dem Rechner ergibt mean([4,8,6,5,3]) → = 5.2. Der Statistik-Rechner nimmt dieselbe durch Kommas getrennte Liste und zeigt den Rechenweg.

Der Median

Der Median ist der Wert in der Mitte, nachdem die Daten sortiert wurden. Sortiere zuerst. Bei einer ungeraden Anzahl ist der Median die mittlere Zahl. Bei einer geraden Anzahl mittelst du die zwei mittleren Zahlen.

Durchgerechnetes Beispiel 2: der Median von [1,3,3,6,7,8,9]. Der Datensatz ist bereits sortiert, und bei 7 Werten liegt der mittlere Platz an 4. Stelle, die 6 enthält. Drei Werte liegen darunter und drei darüber. median([1,3,3,6,7,8,9]) → = 6. Bei einer geraden Anzahl, etwa [1,3,4,5,7,10], ist der Median der Durchschnitt der zwei mittleren Werte, (4 + 5) ÷ 2 = 4.5.

Der Modus

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Ein Datensatz kann einen Modus, mehrere Modi oder gar keinen haben, wenn jeder Wert nur einmal auftritt.

Durchgerechnetes Beispiel 3: der Modus von [1,3,3,6,7,8,9]. Der Wert 3 erscheint zweimal und jeder andere Wert einmal, also ist der Modus 3. In [2,2,3,5,5] kommen 2 und 5 beide zweimal vor, also hat dieser Datensatz zwei Modi. mode([1,3,3,6,7,8,9]) → = 3.

Die Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist das einfachste Maß der Streuung und nutzt nur zwei Zahlen aus dem gesamten Datensatz.

Durchgerechnetes Beispiel 4: die Spannweite von [4,8,6,5,3]. Der größte Wert ist 8 und der kleinste 3, also ist die Spannweite 8 − 3 = 5. Tippe sie im Rechner direkt ein: max([4,8,6,5,3]) - min([4,8,6,5,3]) → = 5.

Varianz und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung messen, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen. Das Rezept ist für beide dasselbe: Nimm den Abstand jedes Werts vom Mittelwert, quadriere ihn und mittle diese Quadrate. Das Quadrieren entfernt die negativen Vorzeichen, damit sich die Abstände nicht gegenseitig aufheben, und es gewichtet die Werte stärker, die am weitesten vom Mittelwert entfernt liegen.

Durchgerechnetes Beispiel 5: Varianz und Standardabweichung von [2,4,4,4,5,5,7,9]. Der Mittelwert ist 5. Die Abstände vom Mittelwert sind -3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4, und ihre Quadrate sind 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, in Summe 32. Behandelt man die 8 Werte als Stichprobe, teilt man durch n − 1 = 7: 32 ÷ 7 = 4.5714. Das ist die Varianz. Die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel, etwa 2.138. Auf dem Rechner ergibt variance([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 4.5714 und std([2,4,4,4,5,5,7,9]) → = 2.138.

Was die Standardabweichung sagt

Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte dicht am Mittelwert liegen. Eine große bedeutet, dass sie verstreut sind. Die Datensätze [4,5,6] und [1,5,9] haben beide einen Mittelwert von 5, aber der erste sitzt eng darum (std 1), während der zweite die ganze Spannweite ausfüllt (std 4). Bei Daten, die ungefähr wie eine Glockenkurve aussehen, fallen etwa 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, eine Eigenschaft, die als 68-95-99.7-Regel bekannt ist. Diese 68% sind ein Verhältnis, und der Prozentrechner wandelt dieselbe Art von Verhältnis in einen Prozentwert um, wenn du einen brauchst.

Grundgesamtheit versus Stichprobe

Die beiden Formeln unterscheiden sich darin, wodurch sie teilen. Eine Grundgesamtheit ist jedes Mitglied der untersuchten Gruppe, und ihre Varianz und Standardabweichung teilen durch n. Eine Stichprobe ist die Teilmenge, die du tatsächlich gemessen hast, und sie teilt stattdessen durch n − 1. Diese kleine Änderung gleicht aus, dass Stichproben im Durchschnitt etwas weniger streuen als die gesamte Grundgesamtheit. Bei [2,4,4,4,5,5,7,9] macht es einen Unterschied: Die Varianz der Grundgesamtheit ist 4 und die Standardabweichung ist 2, während die Werte für die Stichprobe 4.5714 und 2.138 sind. Echte Daten sind fast immer eine Stichprobe, weshalb die variance- und std-Funktionen des Rechners standardmäßig die n − 1-Version verwenden.

Eine Kennzahl wählen

Der Mittelwert funktioniert gut für symmetrische Daten. Der Median widersteht Ausreißern: Ein extremer Wert zieht den Mittelwert, lässt den Median aber unberührt. Der Modus passt zu Kategorien und wiederholten Werten. Wenn eine Kennzahl als Anteil angegeben werden muss, behandelt der Prozent-Leitfaden das Umrechnen von Teilen in Prozent, dieselbe günstige ÷ gesamte × 100-Rechenart, die in weiten Teilen der Statistik verwendet wird.

Häufig gestellte Fragen

Welches Maß soll ich verwenden, Mittelwert oder Median?

Bevorzuge den Median, wenn einige extreme Werte den Mittelwert verzerren würden. Hauspreise in einer Stadt sind der Klassiker: Eine Handvoll Luxusverkäufe zieht den Mittelwert hoch, während der Median nahe am typischen Haus verankert bleibt. Verwende den Mittelwert, wenn die Daten symmetrisch sind und alle Werte ähnlich groß ausfallen.

Teile ich bei Varianz und Standardabweichung durch n oder n − 1?

Teile durch n, wenn die Liste die gesamte Grundgesamtheit ist. Teile durch n − 1, wenn sie eine Stichprobe einer größeren Grundgesamtheit ist, was bei weitem die häufigere Situation ist. Die Standardeinstellung des Rechners entspricht der Stichprobenversion, wie bei std([2,4,6,8,10]) → 3.1623.

Was bedeutet eine Standardabweichung von 2.138?

Es ist der typische Abstand eines Werts vom Mittelwert, gemessen in den Einheiten der Daten. Für den Datensatz [2,4,4,4,5,5,7,9] liegen die Werte im Durchschnitt etwa 2.1 Einheiten vom Mittelwert 5 entfernt.

Kann ein Datensatz mehr als einen Modus haben?

Ja. Wenn sich mehrere Werte die meiste Häufigkeit teilen, hat der Datensatz so viele Modi. [2,2,3,5,5] ist bimodal mit den Modi 2 und 5.