Das Wort „Durchschnitt“ kann drei verschiedene Bedeutungen haben, und die falsche Wahl kann irreführend sein. Mittelwert, Median und Modus beantworten jeweils eine leicht andere Frage zu deinen Daten.
Der Mittelwert (arithmetischer Durchschnitt)
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl. Damit ist gemeint, was die meisten Leute mit „Durchschnitt“ meinen.
Formel: Mittelwert = Summe ÷ Anzahl
Durchgerechnetes Beispiel: Der Mittelwert von [4, 8, 6, 5, 3] ist (4+8+6+5+3) ÷ 5 = 26 ÷ 5 = 5,2. Verwende den Durchschnittsrechner zur Nachrechnung.
Der Median
Der Median ist der mittlere Wert, wenn die Daten sortiert sind. Bei einer ungeraden Anzahl ist es der Zentralwert. Bei einer geraden Anzahl werden die beiden mittleren Werte gemittelt.
Durchgerechnetes Beispiel: Der Median von [3, 4, 5, 6, 8] (sortiert) ist 5 — der dritte Wert in einer Menge von fünf. Für [3, 4, 5, 6, 7, 8] ist der Median (5+6) ÷ 2 = 5,5.
Der Modus
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Eine Datenmenge kann einen Modus, mehrere Modi oder gar keinen haben.
Durchgerechnetes Beispiel: Bei [1, 2, 2, 3, 4] ist der Modus 2. Bei [1, 1, 2, 2, 3] gibt es zwei Modi (1 und 2), was eine bimodale Verteilung ergibt. Bei [1, 2, 3, 4, 5] erscheint jeder Wert einmal, es gibt also keinen Modus.
Wann man welches Maß benutzt
| Maß | Am besten bei |
|---|---|
| Mittelwert | Daten sind annähernd symmetrisch ohne extreme Ausreißer |
| Median | Daten sind schief verteilt oder haben Ausreißer |
| Modus | Daten sind kategorial, oder man häufigsten Fall sucht |
In einem Raum mit zehn Personen, die jeweils 30.000 € verdienen, sind Mittelwert und Median beide 30.000 €. Fügt man eine Person hinzu, die 1.000.000 € verdient, springt der Mittelwert auf etwa 118.000 €, während der Median bei 30.000 € bleibt. Der Median repräsentiert die typische Person besser. Dieses Prinzip gilt auch für Finanzdaten — siehe den Leitfaden zur Aufzinsung für die Variation von Anlagerenditen.
Spanne und Streuung
Die Spanne gibt an, wie weit die Daten gestreut sind: größter Wert minus kleinster Wert. Sie ist schnell berechnet, aber empfindlich gegenüber einzelnen Ausreißern. Für ein vollständigeres Bild betrachtet man die Standardabweichung. Verwende den Statistikrechner dafür.
Häufig gestellte Fragen
Wann sollte ich den Mittelwert oder den Median verwenden? Verwende den Mittelwert, wenn die Daten annähernd symmetrisch sind und keine extremen Ausreißer vorliegen. Verwende den Median, wenn die Daten schief verteilt sind oder Ausreißer haben, da ein extremer Wert den Mittelwert weit vom Zentrum wegziehen kann.
Was ist, wenn es keinen Modus gibt? Wenn jeder Wert genau einmal vorkommt, gibt es keinen Modus. Der Rechner meldet, dass kein Modus vorhanden ist, anstatt einen willkürlichen Wert zu wählen.
Kann eine Datenmenge mehr als einen Modus haben? Ja. Wenn zwei oder mehr Werte die höchste Häufigkeit teilen, ist die Menge bimodal oder multimodal.
Was ist ein gewichteter Mittelwert? Ein gewichteter Mittelwert verleiht manchen Werten mehr Bedeutung als anderen. Jeder Wert wird mit seinem Gewicht multipliziert, die Produkte werden addiert und dann durch die Summe der Gewichte geteilt.