কোনো ঘটনার সম্ভাবনা হলো অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায়। যখন একটি বাছাইয়ের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ হয়, সেটি পারমুটেশন, nPr দিয়ে গোনা হয়; যখন গুরুত্বপূর্ণ নয়, সেটি কম্বিনেশন, nCr দিয়ে গোনা হয়। দুটি গণনাই ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে তৈরি।
মূল বিষয়গুলো
- একটি একক পাশা নিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যায় সম্ভাবনা
1/6≈0.1667নিয়ে পড়ে।- দুটি পাশার যোগফল 36টি ফলাফলের 6টিতে 7 হয়:
6/36≈0.1667।permutations(5,3)=60, কিন্তুcombinations(5,3)=10: প্রথমটির জন্য ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।- একটি পাঁচ-তাসের পোকার হাত:
combinations(52,5)=2,598,960।
মৌলিক সম্ভাবনা
সম্ভাবনা একটি অনুপাত। সাফল্য হিসেবে গোনা ফলাফলগুলো গুনুন, মোট ফলাফল গুনুন, আর দুটি ভাগ করুন। ফলাফলটি 0 আর 1-এর মধ্যে বসে, যেখানে 0 মানে অসম্ভব আর 1 মানে নিশ্চিত।
উদাহরণ ১: পাশা ও তাস। একটি সাধারণ পাশায় 6টি পিঠ আছে, তাই 4 পড়ার সম্ভাবনা 1 ÷ 6, প্রায় 0.1667। 1/6 টাইপ করুন → = 0.1667। একটি 52-তাসের ডেকে 4টি টেক্কা থাকে, তাই একটি টেক্কা তোলা 4 ÷ 52 = 1/13, প্রায় 0.0769। 4/52 টাইপ করুন → = 0.0769। তৃতীয় একটি ক্ষেত্র একই অনুপাত একটি গোল সংখ্যায় নামতে দেখায়: ডেকের অর্ধেক লাল, তাই একটি লাল তাসের সম্ভাবনা 26/52 = 0.5, আর 26/52 → = 0.5। তিনটি গণনাই, অনুকূল ও মোট, পূর্ণসংখ্যার গোনা মান যা আপনি হাতে যাচাই করতে পারেন।
পারমুটেশন: যখন ক্রম গুরুত্বপূর্ণ
পারমুটেশন হলো এমন একটি সাজানো যেখানে ক্রম গণনায় ধরা হয়। একটি চার-অঙ্কের কোড, একটি দৌড়ের শেষ হওয়ার ক্রম, একটি প্লেলিস্টে গানের ধারা: যেকোনো দুটি জিনিস অদলবদল করলে ফলাফল বদলে যায়। এর গণনা nPr = n! ÷ (n − r)!, n থেকে r আইটেম বেছে নেওয়া।
উদাহরণ ২: ক্রমযুক্ত বাছাই। 5টি বই থেকে 3টি বেছে একটি তাকে সাজান। প্রথম জায়গায় 5টি বিকল্প, দ্বিতীয়টিতে 4, তৃতীয়টিতে 3, তাই 5 × 4 × 3 = 60। এটাই permutations(5,3) → = 60। একই যুক্তি সব 4টি ছবিকে সারিতে সাজায়: 4! = 24, তাই permutations(4,4) → = 24। পুনরাবৃত্ত অঙ্ক নিষিদ্ধ কোড একইভাবে কাজ করে: 0 থেকে 9 অঙ্ক থেকে বেছে নেওয়া একটি 4-অঙ্কের কোডের 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 বিকল্প আছে, অথবা permutations(10,4) → = 5,040।
কম্বিনেশন: যখন ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়
কম্বিনেশন হলো একটি দল যেখানে ক্রমের কোনো গুরুত্ব নেই। 3 জনের একটি কমিটি একই কমিটি, সদস্যদের তালিকা যে ক্রমেই দেওয়া হোক না কেন। এর গণনা nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], যা আপনার গুরুত্ব না-দেওয়া r! সাজানোগুলোকে ভাগ করে বাদ দেয়।
উদাহরণ ৩: ক্রমহীন বাছাই। 5টি বই থেকে 3টি বেছে একটি ব্যাগে ঢুকিয়ে দিন। 60টি ক্রমযুক্ত বাছাই 3! = 6-এর দলে ভেঙে পড়ে, ফলে 60 ÷ 6 = 10টি ভিন্ন ব্যাগ থাকে। এটাই combinations(5,3) → = 10। 6 জনের মধ্যে থেকে 2 জনের কমিটি দেয় combinations(6,2) → = 15।
nPr এবং nCr-এর মধ্যে কীভাবে সিদ্ধান্ত নেবেন
একটি প্রশ্ন জিজ্ঞেস করুন: দুটি আইটেম জায়গা অদলবদল করলে ফলাফল বদলায় কি? বদলালে, পারমুটেশন গুনুন। না বদলালে, কম্বিনেশন গুনুন। একটি কোড 12, 21 থেকে ভিন্ন, তাই কোড পারমুটেশন। রাজা ও হীরার 7 বিশিষ্ট একটি হাত, হীরার 7 ও রাজা বিশিষ্ট হাতের মতোই, তাই পোকার হাত কম্বিনেশন। এই একটি প্রশ্নই প্রায় সব ক্ষেত্র নিষ্পত্তি করে, আর ফ্যাক্টোরিয়াল ব্যাখ্যা করা পোস্টে দুটি সূত্রই যে n! যন্ত্রপাতির ওপর নির্ভর করে তা কভার করা হয়েছে।
যৌগিক ঘটনা ও বড় গণনা
কিছু সম্ভাবনায় একটি ভগ্নাংশের বদলে একটু যুক্তির শৃঙ্খল দরকার হয়।
উদাহরণ ৪: অন্তত একটি হেড। তিনটি মুদ্রা ছুঁড়ে অন্তত একটি হেডের প্রশ্ন করুন। আটটি ফলাফল সম্ভব, আর তার মধ্যে মাত্র একটি, তিনটি টেইল, ব্যর্থ হয়। তাই সম্ভাবনা 7 ÷ 8 = 0.875। 7/8 টাইপ করুন → = 0.875। গণনা বড় হলে অনুপাতটি তবু কাজ করে, শুধু বিশাল সংখ্যার আড়ালে লুকিয়ে থাকে: 49-বলের লটারিতে 6টি সংখ্যা মেলানোর একটি জেতা কম্বিনেশন থাকে combinations(49,6) = 13,983,816-এর মধ্যে। এটিকে শতাংশ হিসেবে বলতে একই অনুকূল ÷ মোট × 100 রূপান্তর দরকার, যা শতাংশ ক্যালকুলেটর সামলায়। সম্ভাবনা যেখানে বহুবার পরীক্ষার একটি দীর্ঘ ধারা কেমন দেখাবে তা ভবিষ্যদ্বাণী করে, স্ট্যাটিসটিক্স ক্যালকুলেটর সেখানে পর্যবেক্ষিত ডেটা সংক্ষেপ করে।
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
nPr এবং nCr কীসের সংক্ষিপ্ত রূপ?
nPr গোনে n থেকে নেওয়া r আইটেমের পারমুটেশন, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। nCr গোনে কম্বিনেশন, যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। দুটোই পড়া হয় n থেকে r বাছাই করা হিসেবে।
nPr কেন সবসময় nCr-এর চেয়ে বড়?
কারণ r আইটেমের প্রতিটি কম্বিনেশনকে r! ভিন্ন ক্রমে সাজানো যায়। কম্বিনেশন গণনাকে r! দিয়ে গুণ করলে পারমুটেশন গণনা পাওয়া যায়, তাই একই n এবং r-এর জন্য পারমুটেশন সবসময় বড় আসে। 5 এবং 3-এর জন্য সংখ্যাগুলো হলো 60 এবং 10।
একটি সম্ভাবনা কি কখনো 1-এর চেয়ে বড় হয়?
না। অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা কখনো মোট ফলাফলের সংখ্যা ছাড়িয়ে যেতে পারে না, তাই অনুপাতটি সবসময় 0 আর 1-এর মধ্যে থাকে। ঠিক 1 সম্ভাবনা মানে ঘটনাটি নিশ্চিত।
ক্যালকুলেটরে পারমুটেশন ও কম্বিনেশন কীভাবে হিসাব করব?
permutations(n, r) এবং combinations(n, r) ফাংশন ব্যবহার করুন, অথবা ফ্যাক্টোরিয়াল ক্যালকুলেটরে থাকা nPr ও nCr এন্ট্রি ব্যবহার করুন। যেমন, combinations(52,5) → = 2,598,960।