किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से भाग देने पर मिलती है। जब किसी चयन का क्रम मायने रखता है, तो उसे क्रमचय, nPr से गिनें; जब नहीं रखता, तो उसे संचय, nCr से गिनें। दोनों गिनतियाँ फ़ैक्टोरियल से बनती हैं।
मुख्य बातें
- एक अकेली पासे की चाल किसी चुनी हुई संख्या पर
1/6≈0.1667की प्रायिकता से आती है।- दो पासे 36 में से 6 परिणामों में 7 का योग देते हैं:
6/36≈0.1667।permutations(5,3)=60, लेकिनcombinations(5,3)=10: पहले वाले में क्रम मायने रखता है।- पाँच-ताश वाला पोकर हाथ:
combinations(52,5)=2,598,960।
बुनियादी प्रायिकता
प्रायिकता एक अनुपात है। सफलता माने जाने वाले परिणामों को गिनें, कुल परिणामों को गिनें, और दोनों को भाग दें। परिणाम 0 और 1 के बीच बैठता है, जहाँ 0 का मतलब असंभव और 1 का मतलब निश्चित है।
वर्किंग उदाहरण 1: पासे और ताश। एक मानक पासे के 6 फलक होते हैं, इसलिए 4 आने की प्रायिकता है 1 ÷ 6, लगभग 0.1667। 1/6 टाइप करें → = 0.1667। एक 52-ताश के डेक में 4 इक्के होते हैं, इसलिए एक इक्का निकालना है 4 ÷ 52 = 1/13, लगभग 0.0769। 4/52 टाइप करें → = 0.0769। तीसरा मामला वही अनुपात एक गोल संख्या पर दिखाता है: आधा डेक लाल है, इसलिए एक लाल ताश की प्रायिकता है 26/52 = 0.5, और 26/52 → = 0.5। तीनों गिनतियाँ, अनुकूल और कुल दोनों, पूर्ण-संख्या वाली तालिकाएँ हैं जिन्हें आप हाथ से सत्यापित कर सकते हैं।
क्रमचय: जब क्रम मायने रखता है
क्रमचय एक ऐसी व्यवस्था है जहाँ क्रम मायने रखता है। एक चार-अंकों वाला कोड, किसी दौड़ का समापन क्रम, प्लेलिस्ट में गानों का क्रम: किन्हीं दो आइटम को बदलें और आपको अलग परिणाम मिलता है। इसकी गिनती है nPr = n! ÷ (n − r)!, n में से r आइटम चुनना।
वर्किंग उदाहरण 2: क्रमबद्ध चयन। 5 किताबों में से 3 चुनें और उन्हें एक शेल्फ़ पर रखें। पहले स्लॉट के 5 विकल्प हैं, दूसरे के 4, तीसरे के 3, इसलिए 5 × 4 × 3 = 60। यही permutations(5,3) → = 60 है। वही तर्क सभी 4 फ़ोटो को एक पंक्ति में सजाता है: 4! = 24, इसलिए permutations(4,4) → = 24। दोहराए गए अंकों को मना करने वाले कोड भी उसी तरह काम करते हैं: 0 से 9 तक के अंकों से चुना गया एक 4-अंकों वाला कोड 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 विकल्प रखता है, या permutations(10,4) → = 5,040।
संचय: जब क्रम मायने नहीं रखता
संचय एक समूह है जहाँ क्रम अप्रासंगिक होता है। 3 लोगों की एक समिति वही समिति रहती है चाहे आप सदस्यों को किसी भी क्रम में सूचीबद्ध करें। इसकी गिनती है nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], जो उन r! व्यवस्थाओं को हटा देती है जिनकी आपको परवाह नहीं है।
वर्किंग उदाहरण 3: बिना क्रम वाले चयन। 5 किताबों में से 3 चुनें और उन्हें एक बैग में डाल दें। 60 क्रमबद्ध चयन 3! = 6 व्यवस्थाओं के समूहों में सिमट जाते हैं, जिससे 60 ÷ 6 = 10 अलग-अलग बैग बचते हैं। यही combinations(5,3) → = 10 है। 6 लोगों में से 2 की एक समिति combinations(6,2) → = 15 देती है।
nPr और nCr में से कैसे चुनें
एक सवाल पूछें: जब दो आइटम अपनी जगह बदलें तो क्या परिणाम बदल जाता है? अगर हाँ, तो क्रमचय गिनें। अगर नहीं, तो संचय गिनें। कोड 12, 21 से अलग है, इसलिए कोड क्रमचय हैं। हुकुम का किंग और 7 वाला हाथ हुकुम का 7 और किंग वाले हाथ के समान ही है, इसलिए पोकर के हाथ संचय हैं। यह एक सवाल लगभग हर मामला तय कर देता है, और फ़ैक्टोरियल समझाए गए पोस्ट दोनों सूत्रों की आधारशिला n! मशीनरी को कवर करती है।
संयुक्त घटनाएँ और बड़ी गिनतियाँ
कुछ प्रायिकताओं में एक भिन्न के बजाय तर्क की एक छोटी सी श्रृंखला लगती है।
वर्किंग उदाहरण 4: कम से कम एक हेड। तीन सिक्के उछालें और कम से कम एक हेड की प्रायिकता पूछें। आठ परिणाम संभव हैं, और उनमें से सिर्फ़ एक, तीन टेल, विफल होता है। इसलिए प्रायिकता है 7 ÷ 8 = 0.875। 7/8 टाइप करें → = 0.875। जब गिनतियाँ बड़ी हो जाती हैं तो अनुपात फिर भी काम करता है, वह बस विशाल संख्याओं के भीतर छिप जाता है: 49-गेंद वाली लॉटरी में 6 संख्याएँ मिलाना एक जीतने वाला संयोजन combinations(49,6) = 13,983,816 में से देता है। इसे प्रतिशत के रूप में बताना उसी अनुकूल ÷ कुल × 100 रूपांतरण का उपयोग करता है जिसे प्रतिशत कैलकुलेटर संभालता है। जहाँ प्रायिकता यह अनुमान लगाती है कि परीक्षणों की एक लंबी श्रृंखला कैसी दिखेगी, वहीं स्टैटिस्टिक्स कैलकुलेटर इसके बजाय देखे गए डेटा को संक्षेप में बताता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
nPr और nCr का क्या मतलब है?
nPr, n में से लिए गए r आइटम के क्रमचय गिनता है, जहाँ क्रम मायने रखता है। nCr संचय गिनता है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। दोनों को n में से r चुनने के रूप में पढ़ा जाता है।
nPr हमेशा nCr से बड़ा क्यों होता है?
क्योंकि r आइटम के हर संचय को r! अलग-अलग क्रमों में सूचीबद्ध किया जा सकता है। संचय की गिनती को r! से गुणा करने पर क्रमचय की गिनती मिलती है, इसलिए समान n और r के लिए, क्रमचय बड़े निकलते हैं। 5 और 3 के लिए संख्याएँ 60 और 10 हैं।
क्या प्रायिकता कभी 1 से बड़ी हो सकती है?
नहीं। अनुकूल परिणामों की संख्या कभी भी कुल परिणामों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए अनुपात 0 और 1 के बीच रहता है। ठीक 1 की प्रायिकता का मतलब है कि घटना निश्चित है।
कैलकुलेटर पर क्रमचय और संचय की गणना कैसे करूँ?
permutations(n, r) और combinations(n, r) फ़ंक्शन का उपयोग करें, या फ़ैक्टोरियल कैलकुलेटर पर nPr और nCr एंट्री का। उदाहरण के लिए, combinations(52,5) → = 2,598,960।