Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Anzahl der günstigen Ausgänge geteilt durch die Gesamtzahl der Ausgänge. Wenn die Reihenfolge einer Auswahl zählt, zählst du mit Permutationen, nPr; wenn nicht, mit Kombinationen, nCr. Beide Zählungen sind aus Fakultäten aufgebaut.

Die wichtigsten Punkte

Ein einzelner Würfelwurf landet mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 ≈ 0.1667 auf einer gewählten Zahl.

Zwei Würfel summieren sich bei 6 der 36 Ausgänge zu 7: 6/36 ≈ 0.1667.

permutations(5,3) = 60, aber combinations(5,3) = 10: Bei der ersten zählt die Reihenfolge.

Eine Fünf-Karten-Pokerhand: combinations(52,5) = 2,598,960.

Grundlegende Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit ist ein Verhältnis. Zähle die Ausgänge, die als Erfolg gelten, zähle die gesamten Ausgänge und teile die beiden. Das Ergebnis liegt zwischen 0 und 1, wobei 0 unmöglich und 1 sicher bedeutet.

Durchgerechnetes Beispiel 1: Würfel und Karten. Ein normaler Würfel hat 6 Seiten, also ist die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, 1 ÷ 6, etwa 0.1667. Tippe 1/6 → = 0.1667. Ein 52-Karten-Deck hat 4 Asse, also ist das Ziehen eines Asses 4 ÷ 52 = 1/13, etwa 0.0769. Tippe 4/52 → = 0.0769. Ein dritter Fall zeigt dasselbe Verhältnis auf einer runden Zahl: Die Hälfte des Decks ist rot, also hat eine rote Karte die Wahrscheinlichkeit 26/52 = 0.5, und 26/52 → = 0.5. Alle drei Zählungen, günstig und gesamt, sind ganze Zahlen, die du von Hand nachprüfen kannst.

Permutationen: wenn die Reihenfolge zählt

Eine Permutation ist eine Anordnung, bei der die Reihenfolge zählt. Ein vierstelliger Code, die Zieleinordnung eines Rennens, die Abfolge von Songs in einer Playlist: Vertausche zwei Elemente und du hast ein anderes Ergebnis. Die Zählung ist nPr = n! ÷ (n − r)!, bei der r Elemente aus n gewählt werden.

Durchgerechnetes Beispiel 2: geordnete Auswahl. Nimm 3 Bücher aus 5 und stelle sie in ein Regal. Der erste Platz hat 5 Möglichkeiten, der zweite 4, der dritte 3, also 5 × 4 × 3 = 60. Das ist permutations(5,3) → = 60. Dieselbe Logik ordnet alle 4 Fotos in einer Reihe: 4! = 24, also permutations(4,4) → = 24. Codes ohne wiederholte Ziffern funktionieren genauso: Ein 4-stelliger Code aus den Ziffern 0 bis 9 hat 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 Möglichkeiten, oder permutations(10,4) → = 5,040.

Kombinationen: wenn die Reihenfolge nicht zählt

Eine Kombination ist eine Gruppe, bei der die Reihenfolge egal ist. Ein Ausschuss aus 3 Personen ist derselbe Ausschuss, egal in welcher Reihenfolge du die Mitglieder auflistest. Die Zählung ist nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], was die r! Reihenfolgen, die dir egal sind, herausdividiert.

Durchgerechnetes Beispiel 3: ungeordnete Auswahl. Wähle 3 Bücher aus 5 und stecke sie in eine Tasche. Die 60 geordneten Auswahlen zerfallen in Gruppen von je 3! = 6 Reihenfolgen und lassen 60 ÷ 6 = 10 verschiedene Taschen übrig. Das ist combinations(5,3) → = 10. Ein Ausschuss aus 2 von 6 Personen ergibt combinations(6,2) → = 15.

So entscheidest du zwischen nPr und nCr

Stelle eine Frage: Ändert sich das Ergebnis, wenn zwei Elemente den Platz tauschen? Wenn ja, zähle Permutationen. Wenn nein, zähle Kombinationen. Ein Code 12 unterscheidet sich von 21, also sind Codes Permutationen. Eine Hand aus Karo-König und Karo-7 ist dieselbe Hand wie Karo-7 und Karo-König, also sind Pokerhände Kombinationen. Diese eine Frage entscheidet fast jeden Fall, und der Beitrag Fakultäten erklärt behandelt die n!-Mechanik, auf die beide Formeln bauen.

Zusammengesetzte Ereignisse und große Zählungen

Manche Wahrscheinlichkeiten brauchen eine kurze Gedankenkette statt eines einzelnen Bruchs.

Durchgerechnetes Beispiel 4: mindestens einmal Kopf. Wirf drei Münzen und frage nach mindestens einmal Kopf. Acht Ausgänge sind möglich, und nur einer davon, dreimal Zahl, schlägt fehl. Also ist die Wahrscheinlichkeit 7 ÷ 8 = 0.875. Tippe 7/8 → = 0.875. Wenn die Zählungen groß werden, funktioniert das Verhältnis immer noch, es versteckt sich nur in riesigen Zahlen: Beim Treffen von 6 Zahlen in einer 49-Ball-Lotterie gibt es eine Gewinnkombination von combinations(49,6) = 13,983,816. Das als Prozent anzugeben, nutzt dieselbe günstige ÷ gesamte × 100-Umwandlung, die der Prozentrechner übernimmt. Wo Wahrscheinlichkeit vorhersagt, wie eine lange Folge von Versuchen aussieht, fasst der Statistik-Rechner stattdessen die beobachteten Daten zusammen.

Häufig gestellte Fragen

Wofür stehen nPr und nCr?

nPr zählt die Permutationen von r Elementen aus n, bei denen die Reihenfolge zählt. nCr zählt die Kombinationen, bei denen sie nicht zählt. Beides liest sich als Wähle-r-aus-n.

Warum ist nPr immer größer als nCr?

Weil jede Kombination von r Elementen in r! verschiedenen Reihenfolgen aufgelistet werden kann. Die Kombinationszahl mit r! multipliziert ergibt die Permutationszahl, also fallen Permutationen bei gleichem n und r größer aus. Für 5 und 3 sind die Zahlen 60 und 10.

Kann eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 sein?

Nein. Die Anzahl günstiger Ausgänge kann nie die Gesamtzahl der Ausgänge überschreiten, also bleibt das Verhältnis zwischen 0 und 1. Eine Wahrscheinlichkeit von genau 1 bedeutet, dass das Ereignis sicher ist.

Wie berechne ich Permutationen und Kombinationen auf dem Rechner?

Nutze die Funktionen permutations(n, r) und combinations(n, r) oder die Einträge nPr und nCr im Fakultäten-Rechner. Zum Beispiel combinations(52,5) → = 2,598,960.