La probabilidad de un suceso es el número de resultados favorables dividido entre el número total de resultados. Cuando el orden de una selección importa, cuéntalo con permutaciones, nPr; cuando no, cuéntalo con combinaciones, nCr. Ambos recuentos se construyen a partir de factoriales.

Ideas clave

Un lanzamiento de un dado cae en un número elegido con probabilidad 1/6 ≈ 0.1667.

Dos dados suman 7 en 6 de los 36 resultados: 6/36 ≈ 0.1667.

permutations(5,3) = 60, pero combinations(5,3) = 10: el orden importa para la primera.

Una mano de póker de cinco cartas: combinations(52,5) = 2,598,960.

Probabilidad básica

La probabilidad es una razón. Cuenta los resultados que cuentan como éxito, cuenta los resultados totales y divide los dos. El resultado se sitúa entre 0 y 1, donde 0 significa imposible y 1 cierto.

Ejemplo resuelto 1: dados y cartas. Un dado estándar tiene 6 caras, así que la probabilidad de sacar un 4 es 1 ÷ 6, unos 0.1667. Escribe 1/6 → = 0.1667. Una baraja de 52 cartas tiene 4 ases, así que sacar un as es 4 ÷ 52 = 1/13, unos 0.0769. Escribe 4/52 → = 0.0769. Un tercer caso muestra la misma razón aterrizando en un número redondo: la mitad de la baraja es roja, así que una carta roja tiene probabilidad 26/52 = 0.5, y 26/52 → = 0.5. Los tres recuentos, favorables y totales, son talones de números enteros que puedes verificar a mano.

Permutaciones: cuando el orden importa

Una permutación es un arreglo donde el orden cuenta. Un código de cuatro dígitos, el orden de llegada de una carrera, la secuencia de canciones de una lista de reproducción: intercambia dos elementos y tienes un resultado distinto. El recuento es nPr = n! ÷ (n − r)!, eligiendo r elementos de n.

Ejemplo resuelto 2: elecciones ordenadas. Elige 3 libros de 5 y colócalos en una estantería. El primer hueco tiene 5 opciones, el segundo 4, el tercero 3, así que 5 × 4 × 3 = 60. Eso es permutations(5,3) → = 60. La misma lógica ordena las 4 fotos en una fila: 4! = 24, así que permutations(4,4) → = 24. Los códigos que prohíben dígitos repetidos funcionan igual: un código de 4 dígitos elegido de los dígitos 0 a 9 tiene 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 opciones, o permutations(10,4) → = 5,040.

Combinaciones: cuando el orden no importa

Una combinación es un grupo donde el orden es irrelevante. Un comité de 3 personas es el mismo comité digas los miembros en el orden que digas. El recuento es nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], que divide entre las r! ordenaciones que no te importan.

Ejemplo resuelto 3: elecciones sin orden. Elige 3 libros de 5 y mételos en una bolsa. Las 60 elecciones ordenadas se agrupan en grupos de 3! = 6 ordenaciones cada uno, dejando 60 ÷ 6 = 10 bolsas distintas. Eso es combinations(5,3) → = 10. Un comité de 2 de 6 personas da combinations(6,2) → = 15.

Cómo decidir entre nPr y nCr

Hazte una pregunta: ¿cambia el resultado si dos elementos intercambian de lugar? Si cambia, cuenta permutaciones. Si no, cuenta combinaciones. Un código 12 difiere de 21, así que los códigos son permutaciones. Una mano con el Rey y el 7 de diamantes es la misma mano que el 7 de diamantes y el Rey, así que las manos de póker son combinaciones. Esa única pregunta resuelve casi todos los casos, y la entrada factoriales explicados cubre la maquinaria de n! en la que se apoyan ambas fórmulas.

Sucesos compuestos y recuentos grandes

Algunas probabilidades requieren una pequeña cadena de razonamiento en lugar de una sola fracción.

Ejemplo resuelto 4: al menos una cara. Lanza tres monedas y pregunta por al menos una cara. Hay ocho resultados posibles, y solo uno de ellos, tres cruces, falla. Así que la probabilidad es 7 ÷ 8 = 0.875. Escribe 7/8 → = 0.875. Cuando los recuentos se hacen grandes la razón sigue funcionando, solo se esconde dentro de números enormes: acertar 6 números en una lotería de 49 bolas tiene una combinación ganadora de combinations(49,6) = 13,983,816. Expresarlo como porcentaje toma la misma conversión favorables ÷ total × 100 que maneja la calculadora de porcentajes. Mientras la probabilidad predice cómo se ve una larga serie de pruebas, la calculadora de estadística resume en su lugar los datos observados.

Preguntas frecuentes

¿Qué significan nPr y nCr?

nPr cuenta las permutaciones de r elementos tomados de n, donde el orden importa. nCr cuenta las combinaciones, donde el orden no importa. Ambos se leen como elegir r de n.

¿Por qué nPr siempre es mayor que nCr?

Porque cada combinación de r elementos se puede ordenar de r! maneras distintas. Multiplicar el recuento de combinaciones por r! da el recuento de permutaciones, así que para el mismo n y r, las permutaciones salen mayores. Para 5 y 3 los números son 60 y 10.

¿Puede una probabilidad ser mayor que 1?

No. El número de resultados favorables nunca puede superar el número total de resultados, así que la razón se mantiene entre 0 y 1. Una probabilidad de exactamente 1 significa que el suceso es cierto.

¿Cómo calculo permutaciones y combinaciones en la calculadora?

Usa las funciones permutations(n, r) y combinations(n, r), o las entradas nPr y nCr de la calculadora de factoriales. Por ejemplo, combinations(52,5) → = 2,598,960.