확률, 순열과 조합: nPr과 nCr 설명

어떤 사건의 확률은 유리한 결과의 수를 전체 결과의 수로 나눈 값입니다. 선택의 순서가 중요할 때는 순열(nPr)로 세고, 중요하지 않을 때는 조합(nCr)으로 셉니다. 두 가지 계산 모두 팩토리얼로 만들어집니다.

핵심 요약

• 주사위 한 번 던지기에서 특정 숫자가 나올 확률은 1/6 ≈ 0.1667입니다.
• 주사위 두 개의 합이 7이 되는 경우는 36가지 중 6가지입니다: 6/36 ≈ 0.1667.
• permutations(5,3) = 60이지만 combinations(5,3) = 10입니다: 앞의 경우는 순서가 중요합니다.
• 5장짜리 포커 패: combinations(52,5) = 2,598,960.

기본 확률

확률은 비율입니다. 성공으로 인정되는 결과를 세고, 전체 결과를 센 뒤, 두 값을 나눕니다. 결과는 0과 1 사이에 위치하며, 0은 불가능, 1은 확실을 뜻합니다.

예제 1: 주사위와 카드. 표준 주사위는 면이 6개이므로 4가 나올 확률은 1 ÷ 6, 약 0.1667입니다. 1/6을 입력하면 → = 0.1667. 52장 덱에는 에이스가 4장이므로 에이스를 뽑을 확률은 4 ÷ 52 = 1/13, 약 0.0769입니다. 4/52를 입력하면 → = 0.0769. 세 번째 경우는 같은 비율이 딱 떨어지는 숫자로 나오는 것을 보여줍니다: 덱의 절반은 빨간색이므로 빨간 카드가 나올 확률은 26/52 = 0.5이고, 26/52는 → = 0.5. 세 경우 모두 유리한 결과와 전체 결과가 손으로 확인할 수 있는 정수 개수입니다.

순열: 순서가 중요할 때

순열은 순서가 중요한 배열입니다. 네 자리 코드, 경주의 완주 순서, 재생목록 속 곡의 순서: 두 항목의 위치를 바꾸면 다른 결과가 됩니다. 개수는 nPr = n! ÷ (n − r)!이며, n개 중에서 r개를 뽑습니다.

예제 2: 순서가 있는 선택. 5권의 책 중 3권을 뽑아 선반에 놓습니다. 첫 자리는 5가지 선택지, 두 번째는 4가지, 세 번째는 3가지이므로 5 × 4 × 3 = 60입니다. 이것이 permutations(5,3) → = 60입니다. 같은 논리로 사진 4장을 한 줄로 모두 배열하면 4! = 24이므로 permutations(4,4) → = 24. 숫자가 중복되지 않는 코드도 마찬가지입니다: 0부터 9까지의 숫자로 만드는 4자리 코드는 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040가지이며, permutations(10,4) → = 5,040.

조합: 순서가 중요하지 않을 때

조합은 순서가 무관한 그룹입니다. 3명으로 구성된 위원회는 구성원을 어떤 순서로 나열하든 같은 위원회입니다. 개수는 nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!]로, 신경 쓰지 않는 r!가지 배열 순서를 나눠서 제거합니다.

예제 3: 순서 없는 선택. 5권의 책 중 3권을 골라 가방에 넣습니다. 순서를 고려한 60가지 선택이 각각 3! = 6가지 순서로 묶이면서 60 ÷ 6 = 10개의 서로 다른 가방으로 좁혀집니다. 이것이 combinations(5,3) → = 10입니다. 6명 중 2명으로 구성한 위원회는 combinations(6,2) → = 15.

nPr과 nCr 중 무엇을 쓸지 결정하는 법

질문 하나만 던지면 됩니다: 두 항목의 위치를 바꾸면 결과가 달라지는가? 달라진다면 순열로 셉니다. 달라지지 않는다면 조합으로 셉니다. 코드 12는 21과 다르므로 코드는 순열입니다. 다이아몬드 킹과 다이아몬드 7로 이루어진 패는 다이아몬드 7과 다이아몬드 킹으로 이루어진 패와 같으므로 포커 패는 조합입니다. 이 한 가지 질문이 거의 모든 경우를 정리해 주며, 팩토리얼이란 무엇인가 글에서는 두 공식이 모두 의존하는 n! 원리를 다룹니다.

복합 사건과 큰 수

일부 확률은 하나의 분수가 아니라 짧은 추론의 연쇄를 필요로 합니다.

예제 4: 적어도 한 번의 앞면. 동전 세 개를 던져 적어도 한 번 앞면이 나올 확률을 구합니다. 가능한 결과는 8가지이며, 그중 뒷면만 세 번인 경우 하나만 실패입니다. 그래서 확률은 7 ÷ 8 = 0.875입니다. 7/8을 입력하면 → = 0.875. 개수가 커져도 이 비율은 여전히 성립하며, 다만 거대한 숫자 속에 숨어 있을 뿐입니다: 49개의 공에서 6개를 맞추는 로또는 combinations(49,6) = 13,983,816가지 중 당첨 조합이 하나뿐입니다. 이를 퍼센트로 표현하는 것도 퍼센트 계산기가 처리하는 것과 같은 유리한 결과 ÷ 전체 결과 × 100 변환입니다. 확률이 시행을 오래 반복했을 때의 모습을 예측하는 것이라면, 통계 계산기는 대신 실제 관측된 데이터를 요약합니다.

자주 묻는 질문

nPr과 nCr은 무엇의 약자인가요?

nPr은 n개 중에서 r개를 뽑는 순열의 수를 세며, 순서가 중요합니다. nCr은 조합의 수를 세며, 순서가 중요하지 않습니다. 둘 다 “n개 중에서 r개를 선택”으로 읽을 수 있습니다.

nPr은 왜 항상 nCr보다 큰가요?

r개 항목으로 이루어진 각 조합이 r!가지의 서로 다른 순서로 나열될 수 있기 때문입니다. 조합 수에 r!을 곱하면 순열 수가 나오므로, 같은 n과 r에서 순열이 더 크게 나옵니다. 5와 3의 경우 숫자는 60과 10입니다.

확률이 1보다 커질 수 있나요?

아니요. 유리한 결과의 수는 절대 전체 결과의 수를 넘을 수 없으므로, 비율은 항상 0과 1 사이에 머뭅니다. 확률이 정확히 1이면 그 사건은 확실하다는 뜻입니다.

계산기에서 순열과 조합은 어떻게 계산하나요?

permutations(n, r)과 combinations(n, r) 함수를 사용하거나, 팩토리얼 계산기의 nPr, nCr 항목을 사용하세요. 예를 들어 combinations(52,5) → = 2,598,960.