Probabilité, permutations et combinaisons : nPr et nCr expliqués

La probabilité d’un événement est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues. Quand l’ordre d’une sélection compte, comptez-la avec les permutations, nPr ; quand il ne compte pas, comptez-la avec les combinaisons, nCr. Les deux comptages sont construits à partir de factorielles.

Points clés

• Un seul lancer de dé tombe sur un nombre choisi avec la probabilité 1/6 ≈ 0.1667.
• Deux dés font 7 en tout dans 6 des 36 issues : 6/36 ≈ 0.1667.
• permutations(5,3) = 60, mais combinations(5,3) = 10 : l’ordre compte pour la première.
• Une main de poker de cinq cartes : combinations(52,5) = 2,598,960.

La probabilité de base

La probabilité est un rapport. Comptez les issues qui comptent comme un succès, comptez les issues totales, et divisez les deux. Le résultat se situe entre 0 et 1, où 0 signifie impossible et 1 signifie certain.

Exemple détaillé 1 : les dés et les cartes. Un dé standard a 6 faces, donc la probabilité de tirer un 4 est 1 ÷ 6, environ 0.1667. Tapez 1/6 → = 0.1667. Un jeu de 52 cartes a 4 as, donc tirer un as vaut 4 ÷ 52 = 1/13, environ 0.0769. Tapez 4/52 → = 0.0769. Un troisième cas montre le même rapport atterrissant sur un nombre rond : la moitié du jeu est rouge, donc une carte rouge a la probabilité 26/52 = 0.5, et 26/52 → = 0.5. Ces trois comptages, favorables et totaux, sont des dénombrements d’entiers que vous pouvez vérifier à la main.

Les permutations : quand l’ordre compte

Une permutation est un arrangement où l’ordre compte. Un code à quatre chiffres, l’ordre d’arrivée d’une course, la séquence des chansons d’une playlist : échangez deux éléments et vous avez un résultat différent. Le comptage est nPr = n! ÷ (n − r)!, en choisissant r éléments parmi n.

Exemple détaillé 2 : des tirages ordonnés. Prenez 3 livres parmi 5 et placez-les sur une étagère. Le premier emplacement a 5 choix, le second 4, le troisième 3, donc 5 × 4 × 3 = 60. C’est permutations(5,3) → = 60. La même logique range les 4 photos en file : 4! = 24, donc permutations(4,4) → = 24. Les codes sans chiffres répétés fonctionnent de la même façon : un code à 4 chiffres choisi parmi les chiffres de 0 à 9 a 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 options, soit permutations(10,4) → = 5,040.

Les combinaisons : quand l’ordre ne compte pas

Une combinaison est un groupe où l’ordre est sans importance. Un comité de 3 personnes est le même comité peu importe dans quel ordre vous énumérez ses membres. Le comptage est nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], qui élimine les r! ordres dont vous n’avez pas besoin.

Exemple détaillé 3 : des tirages non ordonnés. Choisissez 3 livres parmi 5 et fourrez-les dans un sac. Les 60 tirages ordonnés se regroupent en paquets de 3! = 6 ordres chacun, ce qui laisse 60 ÷ 6 = 10 sacs distincts. C’est combinations(5,3) → = 10. Un comité de 2 sur 6 personnes donne combinations(6,2) → = 15.

Comment décider entre nPr et nCr

Posez une seule question : le résultat change-t-il quand deux éléments échangent leur place ? Si oui, comptez des permutations. Si non, comptez des combinaisons. Un code 12 diffère de 21, donc les codes sont des permutations. Une main faite d’un Roi et d’un 7 de carreau est la même main qu’un 7 de carreau et un Roi, donc les mains de poker sont des combinaisons. Cette question unique règle presque tous les cas, et l’article sur les factorielles expliquées couvre la machinerie n! sur laquelle s’appuient les deux formules.

Les événements composés et les grands comptages

Certaines probabilités prennent un court enchaînement de raisonnement au lieu d’une seule fraction.

Exemple détaillé 4 : au moins une face. Lancez trois pièces et demandez au moins une face. Huit issues sont possibles, et une seule d’entre elles, trois piles, échoue. Donc la probabilité est 7 ÷ 8 = 0.875. Tapez 7/8 → = 0.875. Quand les comptages deviennent grands, le rapport fonctionne toujours, il se cache juste dans des nombres immenses : faire correspondre 6 numéros d’une loterie à 49 boules a une combinaison gagnante sur combinations(49,6) = 13,983,816. Exprimer cela en pour cent prend la même conversion favorables ÷ total × 100 que gère la calculatrice de pourcentages. Là où la probabilité prédit ce à quoi ressemble une longue série d’essais, la calculatrice de statistiques résume les données observées à la place.

Questions fréquentes

Que signifient nPr et nCr ?

nPr compte les permutations de r éléments pris parmi n, où l’ordre compte. nCr compte les combinaisons, où l’ordre ne compte pas. Les deux se lisent comme choisir r parmi n.

Pourquoi nPr est-elle toujours plus grande que nCr ?

Parce que chaque combinaison de r éléments peut être listée dans r! ordres différents. Multiplier le nombre de combinaisons par r! donne le nombre de permutations, donc pour les mêmes n et r, les permutations sortent plus grandes. Pour 5 et 3, les nombres sont 60 et 10.

Une probabilité peut-elle être supérieure à 1 ?

Non. Le nombre d’issues favorables ne peut jamais dépasser le nombre total d’issues, donc le rapport reste entre 0 et 1. Une probabilité d’exactement 1 signifie que l’événement est certain.

Comment calculer permutations et combinaisons sur la calculatrice ?

Utilisez les fonctions permutations(n, r) et combinations(n, r), ou les entrées nPr et nCr de la calculatrice de factorielles. Par exemple, combinations(52,5) → = 2,598,960.