A probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados. Quando a ordem de uma seleção importa, conte com permutações, nPr; quando não importa, conte com combinações, nCr. Ambas as contagens são construídas a partir de fatoriais.

Principais pontos

Um único lançamento de dado cai em um número escolhido com probabilidade 1/6 ≈ 0.1667.

Dois dados somam 7 em 6 dos 36 resultados: 6/36 ≈ 0.1667.

permutations(5,3) = 60, mas combinations(5,3) = 10: a ordem importa na primeira.

Uma mão de pôquer de cinco cartas: combinations(52,5) = 2.598.960.

Probabilidade básica

Probabilidade é uma razão. Conte os resultados que contam como sucesso, conte os resultados totais e divida os dois. O resultado fica entre 0 e 1, onde 0 significa impossível e 1 significa certo.

Exemplo resolvido 1: dados e cartas. Um dado comum tem 6 faces, então a probabilidade de tirar um 4 é 1 ÷ 6, cerca de 0.1667. Digite 1/6 → = 0.1667. Um baralho de 52 cartas tem 4 ases, então tirar um ás é 4 ÷ 52 = 1/13, cerca de 0.0769. Digite 4/52 → = 0.0769. Um terceiro caso mostra a mesma razão caindo num número redondo: metade do baralho é vermelha, então uma carta vermelha tem probabilidade 26/52 = 0.5, e 26/52 → = 0.5. As três contagens, favoráveis e totais, são somas de números inteiros que você pode conferir à mão.

Permutações: quando a ordem importa

Uma permutação é um arranjo em que a ordem conta. Um código de quatro dígitos, a ordem de chegada de uma corrida, a sequência de músicas em uma playlist: troque dois itens de lugar e você tem um resultado diferente. A contagem é nPr = n! ÷ (n − r)!, escolhendo r itens dentre n.

Exemplo resolvido 2: escolhas ordenadas. Escolha 3 livros entre 5 e os coloque em uma prateleira. O primeiro espaço tem 5 opções, o segundo tem 4, o terceiro tem 3, então 5 × 4 × 3 = 60. Isso é permutations(5,3) → = 60. A mesma lógica organiza as 4 fotos em fila: 4! = 24, então permutations(4,4) → = 24. Códigos que proíbem dígitos repetidos funcionam da mesma forma: um código de 4 dígitos escolhido entre os algarismos de 0 a 9 tem 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 opções, ou permutations(10,4) → = 5.040.

Combinações: quando a ordem não importa

Uma combinação é um grupo em que a ordem é irrelevante. Um comitê de 3 pessoas é o mesmo comitê não importa em que ordem você liste os membros. A contagem é nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], que divide as r! ordenações que não interessam.

Exemplo resolvido 3: escolhas não ordenadas. Escolha 3 livros entre 5 e os coloque em uma sacola. As 60 escolhas ordenadas se agrupam em grupos de 3! = 6 ordenações cada, deixando 60 ÷ 6 = 10 sacolas distintas. Isso é combinations(5,3) → = 10. Um comitê de 2 dentre 6 pessoas dá combinations(6,2) → = 15.

Como decidir entre nPr e nCr

Faça uma pergunta: o resultado muda quando dois itens trocam de lugar? Se muda, conte permutações. Se não muda, conte combinações. Um código 12 é diferente de 21, então códigos são permutações. Uma mão que é rei e 7 de ouros é a mesma mão que 7 de ouros e rei, então mãos de pôquer são combinações. Essa única pergunta resolve quase todos os casos, e o post fatoriais explicados cobre a mecânica de n! de que ambas as fórmulas dependem.

Eventos compostos e contagens grandes

Algumas probabilidades exigem uma pequena cadeia de raciocínio em vez de uma única fração.

Exemplo resolvido 4: pelo menos uma cara. Jogue três moedas e pergunte a probabilidade de pelo menos uma cara. Oito resultados são possíveis, e apenas um deles, três coroas, falha. Então a probabilidade é 7 ÷ 8 = 0.875. Digite 7/8 → = 0.875. Quando as contagens ficam grandes, a razão continua funcionando, só que escondida dentro de números enormes: acertar 6 números em uma loteria de 49 bolas tem uma combinação vencedora dentre combinations(49,6) = 13.983.816. Expressar isso como porcentagem usa a mesma conversão favoráveis ÷ total × 100 que a calculadora de porcentagem faz. Onde a probabilidade prevê como se comporta uma longa sequência de tentativas, a calculadora de estatística resume os dados observados.

Perguntas frequentes

O que significam nPr e nCr?

nPr conta as permutações de r itens escolhidos dentre n, onde a ordem importa. nCr conta as combinações, onde a ordem não importa. Ambas se leem como “escolher r dentre n”.

Por que nPr é sempre maior que nCr?

Porque cada combinação de r itens pode ser listada de r! ordens diferentes. Multiplicar a contagem de combinações por r! dá a contagem de permutações, então, para o mesmo n e r, as permutações sempre saem maiores. Para 5 e 3, os números são 60 e 10.

Uma probabilidade pode ser maior que 1?

Não. O número de resultados favoráveis nunca pode superar o número total de resultados, então a razão fica entre 0 e 1. Uma probabilidade exatamente igual a 1 significa que o evento é certo.

Como calculo permutações e combinações na calculadora?

Use as funções permutations(n, r) e combinations(n, r), ou as entradas nPr e nCr na calculadora de fatorial. Por exemplo, combinations(52,5) → = 2.598.960.