La probabilità di un evento è il numero di esiti favorevoli diviso il numero totale di esiti. Quando l’ordine di una selezione conta, la si conta con le permutazioni, nPr; quando non conta, la si conta con le combinazioni, nCr. Entrambi i conteggi sono costruiti a partire dai fattoriali.

Punti chiave

Il lancio di un singolo dado cade su un numero scelto con probabilità 1/6 ≈ 0,1667.

Due dadi sommano a 7 in 6 dei 36 esiti: 6/36 ≈ 0,1667.

permutations(5,3) = 60, ma combinations(5,3) = 10: l’ordine conta per la prima.

Una mano di poker a cinque carte: combinations(52,5) = 2.598.960.

Probabilità di base

La probabilità è un rapporto. Conta gli esiti che contano come successo, conta gli esiti totali, e dividi i due numeri. Il risultato sta tra 0 e 1, dove 0 significa impossibile e 1 significa certo.

Esempio svolto 1: dadi e carte. Un dado standard ha 6 facce, quindi la probabilità di ottenere un 4 è 1 ÷ 6, circa 0,1667. Digita 1/6 → = 0,1667. Un mazzo di 52 carte ha 4 assi, quindi pescare un asso è 4 ÷ 52 = 1/13, circa 0,0769. Digita 4/52 → = 0,0769. Un terzo caso mostra lo stesso rapporto che atterra su un numero tondo: metà del mazzo è rossa, quindi una carta rossa ha probabilità 26/52 = 0,5, e 26/52 → = 0,5. Tutti e tre i conteggi, favorevoli e totali, sono somme di numeri interi che puoi verificare a mano.

Permutazioni: quando l’ordine conta

Una permutazione è una disposizione in cui l’ordine conta. Un codice a quattro cifre, l’ordine di arrivo in una gara, la sequenza delle canzoni in una playlist: scambia due elementi qualsiasi e ottieni un risultato diverso. Il conteggio è nPr = n! ÷ (n − r)!, scegliendo r elementi da n.

Esempio svolto 2: scelte ordinate. Scegli 3 libri da 5 e mettili su uno scaffale. Il primo posto ha 5 scelte, il secondo 4, il terzo 3, quindi 5 × 4 × 3 = 60. Questo è permutations(5,3) → = 60. La stessa logica dispone tutte e 4 le foto in fila: 4! = 24, quindi permutations(4,4) → = 24. I codici che vietano cifre ripetute funzionano allo stesso modo: un codice a 4 cifre scelto tra 0 e 9 ha 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 opzioni, ovvero permutations(10,4) → = 5.040.

Combinazioni: quando l’ordine non conta

Una combinazione è un gruppo in cui l’ordine è irrilevante. Un comitato di 3 persone è lo stesso comitato indipendentemente dall’ordine in cui elenchi i membri. Il conteggio è nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!], che divide via le r! disposizioni a cui non ti interessa.

Esempio svolto 3: scelte non ordinate. Scegli 3 libri da 5 e mettili in una borsa. Le 60 scelte ordinate collassano in gruppi di 3! = 6 disposizioni ciascuno, lasciando 60 ÷ 6 = 10 borse distinte. Questo è combinations(5,3) → = 10. Un comitato di 2 persone da 6 dà combinations(6,2) → = 15.

Come scegliere tra nPr e nCr

Fatti una sola domanda: il risultato cambia se due elementi si scambiano di posto? Se sì, conta le permutazioni. Se no, conta le combinazioni. Un codice 12 è diverso da 21, quindi i codici sono permutazioni. Una mano che è Re e 7 di quadri è la stessa mano di 7 di quadri e Re, quindi le mani di poker sono combinazioni. Quella singola domanda risolve quasi ogni caso, e l’articolo fattoriali spiegati copre il meccanismo di n! su cui si basano entrambe le formule.

Eventi composti e conteggi grandi

Alcune probabilità richiedono una breve catena di ragionamento invece di una singola frazione.

Esempio svolto 4: almeno una testa. Lancia tre monete e chiedi la probabilità di almeno una testa. Sono possibili otto esiti, e solo uno di essi, tre croci, fallisce. Quindi la probabilità è 7 ÷ 8 = 0,875. Digita 7/8 → = 0,875. Quando i conteggi diventano grandi il rapporto funziona comunque, si nasconde solo dentro numeri enormi: indovinare 6 numeri su una lotteria a 49 palline ha una combinazione vincente su combinations(49,6) = 13.983.816. Esprimerlo come percentuale richiede la stessa conversione favorevoli ÷ totali × 100 che gestisce la calcolatrice delle percentuali. Dove la probabilità predice come apparirà una lunga serie di prove, la calcolatrice statistica riassume invece i dati osservati.

Domande frequenti

Cosa significano nPr e nCr?

nPr conta le permutazioni di r elementi presi da n, dove l’ordine conta. nCr conta le combinazioni, dove l’ordine non conta. Entrambe si leggono come “scegliere r da n”.

Perché nPr è sempre maggiore di nCr?

Perché ogni combinazione di r elementi può essere elencata in r! ordini diversi. Moltiplicare il conteggio delle combinazioni per r! dà il conteggio delle permutazioni, quindi per gli stessi n e r le permutazioni risultano più grandi. Per 5 e 3 i numeri sono 60 e 10.

Una probabilità può mai essere maggiore di 1?

No. Il numero di esiti favorevoli non può mai superare il numero totale di esiti, quindi il rapporto resta tra 0 e 1. Una probabilità esattamente pari a 1 significa che l’evento è certo.

Come calcolo permutazioni e combinazioni sulla calcolatrice?

Usa le funzioni permutations(n, r) e combinations(n, r), oppure le voci nPr e nCr sulla calcolatrice del fattoriale. Per esempio, combinations(52,5) → = 2.598.960.