ある事象の確率は、好ましい結果の数を全結果の数で割ったものです。選び方の順序が重要なときは順列(nPr)で数え、重要でないときは組み合わせ(nCr)で数えます。どちらのカウント方法も階乗を基礎にしています。

要点まとめ

サイコロを1回振ったとき、選んだ目が出る確率は 1/6 ≈ 0.1667 です。

2つのサイコロの合計が7になるのは36通り中6通りです。6/36 ≈ 0.1667。

permutations(5,3) = 60 ですが、combinations(5,3) = 10 です。前者では順序が問題になります。

5枚のポーカーハンド: combinations(52,5) = 2,598,960。

基本的な確率

確率は比率です。成功とみなせる結果の数を数え、全結果の数を数え、両者を割り算します。結果は0から1の間に収まり、0は不可能、1は確実を意味します。

計算例1: サイコロとトランプ。 標準的なサイコロは6つの面を持つので、4が出る確率は 1 ÷ 6、約0.1667です。1/6 と入力すると → = 0.1667。52枚のトランプにはエースが4枚あるので、エースを引く確率は 4 ÷ 52 = 1/13、約0.0769です。4/52 と入力すると → = 0.0769。3つ目の例は同じ比率がきりのよい数字に収まるケースです。デッキの半分は赤なので、赤いカードの確率は 26/52 = 0.5 で、26/52 → = 0.5。この3つの例はどれも、好ましい結果と全結果が整数の集計であり、手で確認できます。

順列: 順序が重要な場合

順列とは、順序が重要な並べ方です。4桁の暗証番号、レースの着順、プレイリストの曲順など、どれか2つを入れ替えると異なる結果になります。数え方は nPr = n! ÷ (n − r)! で、n個からr個を選ぶ形です。

計算例2: 順序ありの選び方。 5冊の本から3冊を選び、棚に並べます。1つ目の枠には5通り、2つ目には4通り、3つ目には3通りの選択肢があるので 5 × 4 × 3 = 60。これは permutations(5,3) → = 60 です。同じ論理で4枚の写真すべてを1列に並べる場合は 4! = 24、つまり permutations(4,4) → = 24。数字の繰り返しを禁止する暗証番号も同じ考え方です。0から9までの数字から選ぶ4桁の暗証番号は 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 通りあり、permutations(10,4) → = 5,040。

組み合わせ: 順序が関係ない場合

組み合わせとは、順序が関係ないグループです。3人の委員会は、メンバーをどんな順番で並べても同じ委員会です。数え方は nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!] で、気にしない r! 通りの並び順を割って除きます。

計算例3: 順序なしの選び方。 5冊の本から3冊を選び、袋に詰めます。60通りの順序ありの選び方は、それぞれ 3! = 6 通りの並び順ごとにまとまり、60 ÷ 6 = 10 通りの異なる袋の中身が残ります。これは combinations(5,3) → = 10 です。6人から2人を選ぶ委員会は combinations(6,2) → = 15。

nPrとnCrの使い分け

問いは1つだけです。2つの項目を入れ替えたら結果は変わるでしょうか。変わるなら順列を数えます。変わらないなら組み合わせを数えます。暗証番号 12 は 21 とは異なるので、暗証番号は順列です。ダイヤのキングと7のハンドは、7とキングのハンドと同じなので、ポーカーのハンドは組み合わせです。この1つの問いでほとんどすべてのケースが解決します。階乗の解説の記事では、両方の公式が依存する n! の仕組みを扱っています。

複合的な事象と大きな数

一部の確率は1つの分数ではなく、短い推論の連鎖を必要とします。

計算例4: 少なくとも1回は表が出る確率。 コインを3回投げて、少なくとも1回は表が出る確率を求めます。可能な結果は8通りあり、失敗するのはそのうち1通り、つまり3回とも裏の場合だけです。したがって確率は 7 ÷ 8 = 0.875。7/8 と入力すると → = 0.875。数が大きくなっても比率の考え方は変わりませんが、巨大な数字の中に隠れてしまいます。49個の玉から6個を当てる宝くじで6個すべてを当てる当選組み合わせは1通りで、これは combinations(49,6) = 13,983,816通りの1つです。これをパーセントとして表すには、パーセント電卓が扱う「好ましい結果 ÷ 全結果 × 100」という同じ変換を使います。確率が長期試行の結果を予測するのに対し、統計電卓は観測されたデータを要約するために作られています。

よくある質問

nPrとnCrはそれぞれ何を表していますか?

nPrはn個からr個を取る際の順列を数えるもので、順序が重要です。nCrは組み合わせを数えるもので、順序は関係ありません。どちらも「nからrを選ぶ」と読みます。

なぜnPrはnCrより常に大きいのですか?

r個の組み合わせはそれぞれ r! 通りの異なる順序で並べられるからです。組み合わせの数に r! を掛けると順列の数になるため、同じnとrに対して順列のほうが必ず大きくなります。5と3の場合、それぞれ 60 と 10 です。

確率が1より大きくなることはありますか?

ありません。好ましい結果の数が全結果の数を超えることはないため、この比率は常に0から1の間に収まります。確率がちょうど1のとき、その事象は確実です。

電卓で順列と組み合わせを計算するにはどうすればよいですか?

permutations(n, r) と combinations(n, r) 関数、あるいは階乗電卓のnPrとnCrの項目を使います。たとえば combinations(52,5) → = 2,598,960。