一个事件的概率，等于有利结果数除以总结果数。当一次选择的顺序有影响时，用排列 nPr 来计数；当顺序无关时，用组合 nCr 来计数。这两种计数方式都建立在阶乘之上。

要点速览

掷一次骰子出现指定点数的概率是 1/6 ≈ 0.1667。

两枚骰子之和为 7 的情况占 36 种结果中的 6 种：6/36 ≈ 0.1667。

permutations(5,3) = 60，但 combinations(5,3) = 10：第一种情形顺序有影响。

一手五张牌的扑克组合数：combinations(52,5) = 2,598,960。

基础概率

概率是一个比值。数出算作成功的结果个数，数出所有结果的总数，两者相除。结果落在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。

示例一：骰子与扑克牌。 一枚标准骰子有 6 个面，所以掷出 4 的概率是 1 ÷ 6，约 0.1667。输入 1/6 → = 0.1667。一副 52 张的牌中有 4 张 A，所以抽到一张 A 的概率是 4 ÷ 52 = 1/13，约 0.0769。输入 4/52 → = 0.0769。第三个例子显示同样的比值也可能落在一个整数上：牌中一半是红色，所以抽到红牌的概率是 26/52 = 0.5，26/52 → = 0.5。这三个例子中，有利结果数和总结果数都是可以手工验证的整数计数。

排列：顺序有影响时

排列是一种顺序有影响的排列方式。一个四位数密码、一场比赛的名次顺序、播放列表中歌曲的先后次序：只要交换其中任意两项，结果就不同了。计数公式是 nPr = n! ÷ (n − r)!，从 n 个中选出 r 个。

示例二：有序挑选。 从 5 本书中挑 3 本，放到书架上。第一个位置有 5 种选择，第二个 4 种，第三个 3 种，所以 5 × 4 × 3 = 60。这就是 permutations(5,3) → = 60。同样的逻辑也适用于把全部 4 张照片排成一排：4! = 24，所以 permutations(4,4) → = 24。禁止重复数字的密码同理：从 0 到 9 这十个数字中选出 4 位组成密码，有 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 种可能，即 permutations(10,4) → = 5,040。

组合：顺序无关时

组合是一个顺序无关紧要的分组。一个由 3 个人组成的委员会，无论怎样排列成员的先后顺序，都是同一个委员会。计数公式是 nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!]，它把你不在意的 r! 种排列方式除掉了。

示例三：无序挑选。 从 5 本书中挑 3 本装进袋子里。原本的 60 种有序挑选，会按每 3! = 6 种排列方式归并为一组，剩下 60 ÷ 6 = 10 个不同的组合。这就是 combinations(5,3) → = 10。从 6 个人中选 2 人组成委员会，则是 combinations(6,2) → = 15。

如何在 nPr 和 nCr 之间做选择

只需问一个问题：交换两项的位置，结果会不会变？会变，就用排列计数；不会变，就用组合计数。密码 12 和 21 是不同的，所以密码是排列问题。方块 K 和方块 7 组成的一手牌，和方块 7 与方块 K 组成的一手牌是同一手牌，所以扑克手牌是组合问题。这一个问题几乎能解决所有情形，阶乘详解一文详细介绍了这两个公式都依赖的 n! 运算。

复合事件与大数计算

有些概率问题需要一小段推理，而不是一步到位的分数。

示例四：至少一次正面。 抛三枚硬币，求至少出现一次正面的概率。一共有八种可能的结果，其中只有一种——三次都是反面——不满足条件。所以概率是 7 ÷ 8 = 0.875。输入 7/8 → = 0.875。当计数变大时，比值这套逻辑依然成立，只是被藏进了巨大的数字里：在 49 个球的彩票中猜中 6 个号码，中奖组合只有一种，而总组合数是 combinations(49,6) = 13,983,816。把它表述成一个百分比，用的是同样的「有利结果 ÷ 总结果 × 100」换算，百分比计算器可以完成这一步。概率预测的是大量重复试验会呈现出什么样子，而统计计算器则是用来汇总已经观测到的数据。

常见问题

nPr 和 nCr 分别代表什么？

nPr 计算从 n 个中取 r 个的排列数，顺序有影响。nCr 计算组合数，顺序无关。两者都读作「从 n 中取 r」。

为什么 nPr 总是大于 nCr？

因为每一种由 r 个元素组成的组合，都可以排成 r! 种不同的顺序。把组合数乘以 r! 就得到排列数，所以对相同的 n 和 r，排列数总是更大。以 5 和 3 为例，两者分别是 60 和 10。

概率会大于 1 吗？

不会。有利结果数不可能超过总结果数，所以这个比值始终落在 0 到 1 之间。概率恰好为 1，表示这个事件是必然发生的。

如何在计算器上计算排列和组合？

使用 permutations(n, r) 和 combinations(n, r) 函数，或者阶乘计算器上的 nPr 和 nCr 条目。例如，combinations(52,5) → = 2,598,960。