احتمال وقوع حدث هو عدد النواتج المؤاتية مقسومًا على العدد الكلي للنواتج. عندما يهم ترتيب الاختيار، تُحسب بالتباديل، nPr؛ وعندما لا يهم، تُحسب بالتوافيق، nCr. كلا العددين مبنيان من العوامليات.
أهم النقاط
- رمية نرد واحدة تقع على رقم مختار باحتمال
1/6≈0.1667.- مجموع نردين يساوي 7 في 6 من أصل 36 ناتجًا:
6/36≈0.1667.permutations(5,3)=60، لكنcombinations(5,3)=10: الترتيب يهم في الأولى.- يد بوكر من خمس أوراق:
combinations(52,5)=2,598,960.
الاحتمالات الأساسية
الاحتمال نسبة. عُدّ النواتج التي تُعتبر نجاحًا، عُدّ النواتج الكلية، واقسم الاثنين. تقع النتيجة بين 0 و1، حيث 0 يعني مستحيلًا و1 يعني مؤكَّدًا.
مثال محلول 1: النرد والأوراق. النرد العادي له 6 أوجه، لذا احتمال الحصول على 4 هو 1 ÷ 6، أي حوالي 0.1667. اكتب 1/6 → = 0.1667. مجموعة الأوراق المكوّنة من 52 ورقة تحتوي 4 أوراق آص، لذا فإن سحب آص هو 4 ÷ 52 = 1/13، أي حوالي 0.0769. اكتب 4/52 → = 0.0769. حالة ثالثة تُظهر النسبة نفسها تقع على رقم مستدير: نصف المجموعة أحمر، لذا فإن احتمال بطاقة حمراء هو 26/52 = 0.5، و26/52 → = 0.5. جميع العدّات الثلاث، المؤاتية والكلية، أعداد صحيحة يمكنك التحقق منها يدويًا.
التباديل: عندما يهم الترتيب
التبديل هو ترتيب يهم فيه التسلسل. رمز مكوّن من أربعة أرقام، ترتيب وصول متسابقين، تسلسل أغانٍ في قائمة تشغيل: بدّل عنصرين وتحصل على نتيجة مختلفة. العدد هو nPr = n! ÷ (n − r)!، عند اختيار r عناصر من n.
مثال محلول 2: اختيارات مرتّبة. اختر 3 كتب من 5 وضعها على رف. الموضع الأول له 5 خيارات، والثاني 4، والثالث 3، لذا 5 × 4 × 3 = 60. هذا هو permutations(5,3) → = 60. المنطق نفسه يرتّب كل الصور الأربع في صف: 4! = 24، لذا permutations(4,4) → = 24. الرموز التي تمنع تكرار الأرقام تعمل بنفس الطريقة: رمز من 4 أرقام مختار من الأرقام 0 إلى 9 له 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 خيارًا، أو permutations(10,4) → = 5,040.
التوافيق: عندما لا يهم الترتيب
التوفيق هو مجموعة لا يهم فيها الترتيب. لجنة من 3 أشخاص هي نفس اللجنة بغضّ النظر عن الترتيب الذي تسرد به الأعضاء. العدد هو nCr = n! ÷ [r! × (n − r)!]، الذي يقسّم على ترتيبات r! التي لا تهمك.
مثال محلول 3: اختيارات غير مرتّبة. اختر 3 كتب من 5 وضعها في حقيبة. الاختيارات الستون المرتّبة تنهار إلى مجموعات من 3! = 6 ترتيبات لكل منها، فيبقى 60 ÷ 6 = 10 حقيبة مميّزة. هذا هو combinations(5,3) → = 10. لجنة من شخصين من أصل 6 أشخاص تعطي combinations(6,2) → = 15.
كيف تقرر بين nPr وnCr
اطرح سؤالًا واحدًا: هل تتغير النتيجة عندما يتبادل عنصران مكانيهما؟ إن كان الأمر كذلك، احسب تباديل. وإن لم يكن، احسب توافيق. الرمز 12 يختلف عن 21، لذا فإن الرموز تباديل. يد فيها ملك ديناري و7 ديناري هي نفس اليد بغضّ النظر عن ترتيبهما، لذا فإن أيدي البوكر توافيق. هذا السؤال الوحيد يحسم معظم الحالات، ويغطي منشور شرح العوامليات آلية n! التي تعتمد عليها الصيغتان.
الأحداث المركّبة والأعداد الكبيرة
بعض الاحتمالات تحتاج سلسلة استدلال قصيرة بدلًا من كسر واحد.
مثال محلول 4: صورة واحدة على الأقل. ارمِ ثلاث عملات معدنية واسأل عن صورة واحدة على الأقل. ثمانية نواتج ممكنة، وواحد فقط منها، ثلاث كتابات، يفشل. لذا الاحتمال هو 7 ÷ 8 = 0.875. اكتب 7/8 → = 0.875. عندما تكبر الأعداد تظل النسبة تعمل، لكنها تختبئ داخل أعداد ضخمة: مطابقة 6 أرقام في يانصيب بـ 49 كرة لها توفيق فائز واحد من أصل combinations(49,6) = 13,983,816. صياغة ذلك كنسبة مئوية تستخدم نفس تحويل المؤاتي ÷ الكلي × 100 الذي تتولاه حاسبة النسبة المئوية. حيث يتنبأ الاحتمال بشكل سلسلة طويلة من التجارب، تلخّص حاسبة الإحصاء البيانات المُلاحَظة بدلًا من ذلك.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني nPr وnCr؟
nPr تحسب تباديل r عناصر مأخوذة من n، حيث يهم الترتيب. nCr تحسب التوافيق، حيث لا يهم الترتيب. كلاهما يُقرأ كاختيار r من n.
لماذا تكون nPr دائمًا أكبر من nCr؟
لأن كل توفيق من r عناصر يمكن سرده بـ r! ترتيب مختلف. ضرب عدد التوافيق في r! يعطي عدد التباديل، لذا فإن التباديل تخرج أكبر لنفس n وr. بالنسبة لـ 5 و3، العددان هما 60 و10.
هل يمكن أن يكون الاحتمال أكبر من 1؟
لا. عدد النواتج المؤاتية لا يمكن أن يتجاوز أبدًا العدد الكلي للنواتج، لذا تبقى النسبة بين 0 و1. احتمال يساوي 1 بالضبط يعني أن الحدث مؤكد.
كيف أحسب التباديل والتوافيق على الآلة الحاسبة؟
استخدم دالتي permutations(n, r) وcombinations(n, r)، أو خانتي nPr وnCr في حاسبة العاملي. على سبيل المثال، combinations(52,5) → = 2,598,960.